Producto Vectorial
Dados dos vectores en dimensión 3, es decir, con tres componentes, podemos definir una nueva operación: el producto vectorial. El producto vectorial entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es otro vector $\vec{c}$.
Definimos el producto vectorial por: $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$. También se puede encontrar el producto vectorial utilizando el símbolo $\land$. De manera que $\vec{c}=\vec{a}\land\vec{b}$.
Características del vector resultante $\vec{c}$ al producto vectorial de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$:
- La dirección es perpendicular al plano formado por los dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$.
- El sentido del vector $\vec{c}$ viene dado aplicando la "regla del sacacorchos" o "regla de la mano derecha".
Es el sentido para el cual se movería un sacacorchos cuando se hace girar. Si giramos un sacacorchos o un tornillo "hacia la derecha" (en el sentido de la agujas de un reloj) el sacacorchos o el tornillo "avanza". También se puede utilizar el sacacorchos o un tornillo en el otro sentido: cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la izquierda" (contrario a las agujas del reloj), el sacacorchos o el tornillo "retrocede".
Cómo determinar el vector resultante $\vec{c}$ del producto vectorial de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ en coordenadas:
Si $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ y $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$. El producto vectorial entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es el vector $\vec{c}$. Para ello calculamos el determinante siguiente:
$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \vec{k}$$
Donde $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ es la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Es decir, $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$, $\vec{k}=(0,0,1)$, forman una base ortonormal.
Si $\vec{a}=(2,0,-1)$, $\vec{b}=(1,1,-2)$. Calculemos $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$:
$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} = (1,3,2)$$
Otra manera de determinar el producto vectorial de $\vec{a}$ y $\vec{b}$:
$$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\widehat{ab})\cdot\hat{n}$$
donde $\hat{n}$ es un vector unitario en la dirección y sentido correspondiente. Dirección perpendicular al plano formado por $\vec{a}$ y $\vec{b}$ y sentido dado por la regla del sacacorchos.
Propiedades del producto vectorial:
- $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
- Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ estan en la misma recta, es decir, si son vectores ligados y están en la misma recta; entonces el producto escalar es cero.
Si $\vec{a}=(1,0,0)$ y $\vec{b}=(-2,0,0)$ entonces:
$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} = (0,0,0)=\vec{0}$$