Producte d'un nombre real per un vector
El producte d'un nombre real $\lambda$ per un vector $\vec{u}$ és un altre vector $\lambda\vec{u}$ que té:
- La mateixa direcció que $\vec{u}$.
- El seu mòdul és igual al mòdul de $\vec{u}$ pel valor absolut de $\lambda$. $$ |\lambda\vec{u}|=|\lambda|\cdot|\vec{u}|$$
- Té el mateix sentit que $\vec{u}$ si $\lambda>0$ i l'oposat si $\lambda<0$. Del que es dedueix que si $\lambda=0$ o si $\vec{u}=\vec{0}$, llavors $\lambda\vec{u}=\vec{0}$.
Per obtenir les components del vector $\lambda\vec{u}$ n'hi ha prou amb multiplicar per $\lambda$ les components de $\vec{u}$. Si $\vec{u}=(x_1,y_1)$: $$\lambda\vec{u}=\lambda\cdot(x_1,y_1)=(\lambda\cdot x_1,\lambda\cdot y_1)$$
Si $\vec{u}=(-1,3)$ i $\lambda=3$, aleshores: $$\lambda\vec{u}=3\cdot (-1,3)=(-3,9)$$
Propietats del producte de nombres reals per un vector:
- $\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$
- $(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}$
- $\lambda(\mu\vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}$
- $1\cdot\vec{u}=\vec{u}$