Producto de un número real por un vector
El producto de un número real $\lambda$ por un vector $\vec{u}$ es otro vector $\lambda\vec{u}$ que tiene:
- La misma dirección que $\vec{u}$.
- Su módulo es igual al módulo de $\vec{u}$ por el valor absoluto de $\lambda$. $$ |\lambda\vec{u}|=|\lambda|\cdot|\vec{u}|$$
- Tiene el mismo sentido que $\vec{u}$ si $\lambda>0$ y el opuesto si $\lambda<0$. De lo que se deduce que si $\lambda=0$ o si $\vec{u}=\vec{0}$, entonces $\lambda\vec{u}=\vec{0}$.
Para obtener las componentes del vector $\lambda\vec{u}$ basta multiplicar por $\lambda$ las componentes de $\vec{u}$. Si $\vec{u}=(x_1,y_1)$: $$\lambda\vec{u}=\lambda\cdot(x_1,y_1)=(\lambda\cdot x_1,\lambda\cdot y_1)$$
Si $\vec{u}=(-1,3)$ y $\lambda=3$, entonces: $$\lambda\vec{u}=3\cdot (-1,3)=(-3,9)$$
Propiedades del producto de números reales por un vector:
- $\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$
- $(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}$
- $\lambda(\mu\vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}$
- $1\cdot\vec{u}=\vec{u}$