Bases i coordenades
Un espai vectorial és una estructura matemàtica formada per un conjunt de vectors, els quals es poden sumar, restar entre ells i multiplicar per escalars. En aquest apartat, treballarem en espais vectorials, on operarem amb vectors i definirem el concepte de base.
En el pla, dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ formen una base si són linealment independents, ja que qualsevol vector $\vec{w}$ es pot expressar com a combinació lineal d'aquests dos.
La base formada per $\vec{u}$ i $\vec{v}$ es representa com $B=\{\vec{u}, \vec{v}\}$.
Donada una base qualsevol $B=\{\vec{u}, \vec{v}\}$, $$\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$
Aquesta expressió és única, és a dir, $\lambda$ i $\mu$ estan unívocament determinats.
Les coordenades de $\vec{w}$ a la base $B$ són $\lambda$ i $\mu$. Per tant, podem dir que $\vec{w}=(\lambda,\mu)$ en la base $B$.
De les infinites bases que podem trobar entre els vectors del pla hi ha una d'especialment senzilla: és la que està formada per dos vectors $\vec{i}$ i $\vec{j}$ perpendiculars entre ells i de mòdul $1$. Aquesta base es denomina base canònica del pla.
Recordem que dos vectors són perpendiculars quan formen un angle de $90^\circ$ entre ells.
El vector $\vec{v}=(2,3)$ expressat en la base canònica $B=\{\vec{i}, \vec{j}\}$ és $\vec{v}=2\vec{i}+3\vec{j}$.
Els vectors següents formen una base en el pla?
$\vec{u}=(1,1)$, $\vec{v}=(-3,-3)$. Com que $\dfrac{1}{-3}= \dfrac{1}{-3}$ són vectors l.d. (linealment dependents) de manera que no poden formar una base.
$\vec{u}=(-1,2)$, $\vec{v}=(2,3)$. Com que $\dfrac{-1}{2}\neq \dfrac{2}{3}$ són vectors l.i. (linealment independents), per tant, formen una base en el pla.
$\vec{u}=(4,2)$, $\vec{v}=(2,1)$. Com que $2=\dfrac{4}{2}= \dfrac{2}{1}=2$ són vectors l.d. (linealment dependents) de manera que no poden formar una base.
Expressar el vector $\vec{w}=(4,5)$ com a combinació lineal dels de la base $B=\{\vec{u},\vec{v}\}$ on $\vec{u}=(1,1)$ i $\vec{v}=(2,3)$.
Volem trobar $\lambda$ i $\mu$ tals que: $$ (4,5)=\lambda(1,1)+\mu(2,3)= (\lambda,\lambda)+(2\mu,3\mu)=(\lambda+2\mu,\lambda+3\mu)$$ per tant, $$\left. \begin{array}{lr} 4=\lambda+2\mu & (a) \\ 5=\lambda +3\mu & (b) \end{array} \right\} \Rightarrow \ \text{ restant } \ (a)-(b) \Rightarrow 1=\mu \Rightarrow \lambda=4-2\mu=4-2=2$$
De manera que el vector $\vec{w}=(4,5)$ serà el $(2,1)$ en la base $B=\{\vec{u},\vec{v}\}$.