Bases y coordenadas
Un espacio vectorial es una estructura matemática formada por un conjunto de vectores, los cuales se pueden sumar, restar entre ellos y multiplicar por escalares. En este apartado, trabajaremos en espacios vectoriales, en los que operaremos con vectores y definiremos el concepto de base.
En el plano, dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ forman una base si son linealmente independientes, dado que cualquier vector $\vec{w}$ se puede expresar como combinación lineal de éstos dos.
La base formada por $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se representa como $B=\{\vec{u}, \vec{v}\}$.
Dada una base cualquiera $B=\{\vec{u}, \vec{v}\}$, $$\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$
Esta expresión es única, es decir, $\lambda$ y $\mu$ están unívocamente determinados.
Las coordenadas de $\vec{w}$ en la base $B$ son $\lambda$ y $\mu$. De manera que podemos decir que $\vec{w}=(\lambda,\mu)$ en la base $B$.
De las infinitas bases que podemos encontrar entre los vectores del plano hay una especialmente sencilla: es la que está formada por dos vectores $\vec{i}$ y $\vec{j}$ perpendiculares entre ellos y de módulo $1$. Esta base se denomina base canónica del plano.
Recordamos que dos vectores son perpendiculares cuando forman un ángulo de $90^\circ$ entre ellos.
El vector $\vec{v}=(2,3)$ expresado en la base canónica $B=\{\vec{i}, \vec{j}\}$ és $\vec{v}=2\vec{i}+3\vec{j}$.
¿Los vectores siguientes forman una base en el plano?
$\vec{u}=(1,1)$, $\vec{v}=(-3,-3)$. Como $\dfrac{1}{-3}= \dfrac{1}{-3}$ son vectores l.d. (linealmente dependientes) de manera que no pueden formar una base.
$\vec{u}=(-1,2)$, $\vec{v}=(2,3)$. Como $\dfrac{-1}{2}\neq \dfrac{2}{3}$ son vectores l.i. (linealmente independientes), por lo tanto, forman una base en el plano.
$\vec{u}=(4,2)$, $\vec{v}=(2,1)$. Como $2=\dfrac{4}{2}= \dfrac{2}{1}=2$ son vectores l.d. (linealmente dependientes) de manera que no pueden formar una base.
Expresar el vector $\vec{w}=(4,5)$ como combinación lineal de los de la base $B=\{\vec{u},\vec{v}\}$ donde $\vec{u}=(1,1)$ y $\vec{v}=(2,3)$.
Queremos encontrar $\lambda$ y $\mu$ tales que: $$ (4,5)=\lambda(1,1)+\mu(2,3)= (\lambda,\lambda)+(2\mu,3\mu)=(\lambda+2\mu,\lambda+3\mu)$$ por lo tanto, $$\left. \begin{array}{lr} 4=\lambda+2\mu & (a) \\ 5=\lambda +3\mu & (b) \end{array} \right\} \Rightarrow \ \text{ restando } \ (a)-(b) \Rightarrow 1=\mu \Rightarrow \lambda=4-2\mu=4-2=2$$
De manera que el vector $\vec{w}=(4,5)$ será el $(2,1)$ en la base $B=\{\vec{u},\vec{v}\}$.