Raons trigonomètriques en la circumferència

S'anomena circumferència goniomètrica a aquella que té el seu centre en l'origen de coordenades i el seu radi és la unitat. A la circumferència goniomètrica els eixos de coordenades delimiten quatre quadrants que es numeren en sentit contrari a les agulles del rellotge.

$QOP$ i $TOS$ són triangles semblants.

$QOP$ i $T'OS'$ són triangles semblants.

El sinus és l'ordenada, el cosinus és la abscissa i, a més, a la vista de la imatge, veiem que :

$$ -1\leqslant \sin(\alpha) \leqslant 1 \quad \text{ i } \quad -1\leqslant \cos(\alpha) \leqslant 1 $$

A més, veiem que podem calcular el sinus, el cosinus i la tangent de l'angle mitjançant les següents relacions:

$$\sin(\alpha)=\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{OP}}= \dfrac{\overline{PQ}}{r}=\overline{PQ}$$

$$\cos(\alpha)=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}= \overline{OQ}$$

$$\tan(\alpha)=\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}= \dfrac{\overline{ST}}{\overline{OT}}=\overline{ST}$$

Les raons trigonomètriques inverses es corresponen a:

$$\csc(\alpha)=\dfrac{\overline{OP}}{\overline{PQ}}= \dfrac{\overline{OS'}}{\overline{OT}}=\overline{OS'}$$

$$\sec(\alpha)=\dfrac{\overline{OP}}{\overline{OQ}}= \dfrac{\overline{OS}}{\overline{OT}} \overline{OS}$$

$$\cot(\alpha)=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{PQ}}= \dfrac{\overline{S'T'}}{\overline{OT'}}=\overline{S'T'}$$

Signe de les raons trigonomètriques

A continuació, anem a donar els signes que prenen el sinus i el cosinus en la circumferència goniomètrica:

I en els extrems de cada quadrant:

$$ \begin{array}{lcccc} \alpha: & 0^\circ & 90^\circ & 180^\circ & 270^\circ \\ \sin(\alpha) & 0 & 1 & 0 & -1 \\ \cos(\alpha) & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \tan(\alpha) & 0 & \rightarrow\infty & 0 & \rightarrow-\infty \\ \end{array}$$

Angles complementaris

Es diu que dos angles $x$ i $y$ són complementaris si la seva suma és un angle recte. És a dir,

• Si $x+y=90^\circ$ amb $x$, $y$ expressats en graus sexagesimals.
• Si $x+y=\dfrac{\pi}{2}$ amb $x$, $y$ expressats en radians.

A més, si dos angles complementaris són adjacents, els costats no comuns formen un angle recte. Per exemple, si $x=30^\circ$, el seu angle complementari és $y=60^\circ$, ja que $x+y=30+60=90^\circ$.

A la figura següent, veurem a més la relació existent entre el sinus i el cosinus:

A la vista de la figura anterior, veiem, doncs, que es compleixen les següents relacions:

$$\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)$$

$$\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)$$

$$\tan(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cot(\alpha)$$

En aquest exemple, anem a calcular les raons trigonomètriques bàsiques dels següents angles:

a) $120^\circ$:

• $\sin(120^\circ) = \cos(90^\circ - 120^\circ) = \cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ)= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (atès que es tracta d'una funció parell, $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$)

• $\cos(120^\circ) = \sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ)= - \dfrac{1}{2}$ (atès que es tracta d'una funció senar, $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$)

• $\tan(120^\circ) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{- \dfrac{1}{2}}= -\sqrt{3}$

b) $300^\circ$:

• $\sin(300^\circ) = \sin(-60^\circ) = - \sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

• $\cos(300^\circ) = \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \dfrac{1}{2}$

• $\tan(300^\circ) = \dfrac{\sin(300^\circ)}{\cos(300^\circ)}= \dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} =-\sqrt{3}$