Razones trigonométricas en la circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

$QOP$ y $TOS$ son triángulos semejantes.

$QOP$ y $T'OS'$ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada, el coseno es la abscisa y además, a la vista de la imagen, vemos que:

$$ -1\leqslant \sin(\alpha) \leqslant 1 \quad \text{ y } \quad -1\leqslant \cos(\alpha) \leqslant 1 $$

Además, vemos que podemos calcular el seno, el coseno y la tangente del ángulo mediante las siguientes relaciones:

$$\sin(\alpha)=\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{OP}}= \dfrac{\overline{PQ}}{r}=\overline{PQ}$$

$$\cos(\alpha)=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}= \overline{OQ}$$

$$\tan(\alpha)=\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}= \dfrac{\overline{ST}}{\overline{OT}}=\overline{ST}$$

Las razones trigonométricas inversas se corresponden a:

$$\csc(\alpha)=\dfrac{\overline{OP}}{\overline{PQ}}= \dfrac{\overline{OS'}}{\overline{OT}}=\overline{OS'}$$

$$\sec(\alpha)=\dfrac{\overline{OP}}{\overline{OQ}}= \dfrac{\overline{OS}}{\overline{OT}} \overline{OS}$$

$$\cot(\alpha)=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{PQ}}= \dfrac{\overline{S'T'}}{\overline{OT'}}=\overline{S'T'}$$

Signo de las razones trigonométricas

A continuación, vamos a dar los signos que toman el seno y el coseno en la circunferencia goniométrica:

I en los extremos de cada cuadrante:

$$ \begin{array}{lcccc} \alpha: & 0^\circ & 90^\circ & 180^\circ & 270^\circ \\ \sin(\alpha) & 0 & 1 & 0 & -1 \\ \cos(\alpha) & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \tan(\alpha) & 0 & \rightarrow\infty & 0 & \rightarrow-\infty \\ \end{array}$$

Ángulos complementarios

Se dice que dos ángulos $x$ y $y$ son complementarios si su suma es un ángulo recto. O sea,

• Si $x+y=90^\circ$ con $x$, $y$ expresados en grados sexagesimales
• Si $x+y=\dfrac{\pi}{2}$ con $x$, $y$ expresados en radianes.

Además, si dos ángulos complementarios son adyacentes, los lados no comunes forman un ángulo recto. Por ejemplo, si $x=30^\circ$, su ángulo complementario es $y=60^\circ$, dado que $x+y=30+60=90^\circ$.

En la figura siguiente, veremos además la relación existente entre el seno y el coseno:

A la vista de la figura anterior, pues, vemos que se cumplen las siguientes relaciones:

$$\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)$$

$$\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)$$

$$\tan(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cot(\alpha)$$

En este ejemplo, vamos a calcular las razones trigonométricas básicas de los siguientes ángulos:

a) $120^\circ$:

• $\sin(120^\circ) = \cos(90^\circ - 120^\circ) = \cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ)= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (ya que se trata de una función par, $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$)

• $\cos(120^\circ) = \sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ)= - \dfrac{1}{2}$ (ya que se trata de una función impar, $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$)

• $\tan(120^\circ) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{- \dfrac{1}{2}}= -\sqrt{3}$

b) $300^\circ$:

• $\sin(300^\circ) = \sin(-60^\circ) = - \sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

• $\cos(300^\circ) = \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \dfrac{1}{2}$

• $\tan(300^\circ) = \dfrac{\sin(300^\circ)}{\cos(300^\circ)}= \dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} =-\sqrt{3}$