Introducció als intervals

Vegem els següents conjunts de nombres: $$A=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 < x < 5 \}$$ $$B=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 \leq x \leq 5 \}$$ $$C=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 < x \leq 5 \}$$ $$D=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 \leq x < 5 \}$$

Noteu que els quatre conjunts contenen només els punts que estan entre $2$ i $5$ amb les excepcions possibles de $2$ i/o $5$. Aquests conjunts s'anomenen intervals i els números $2$ i $5$ són els extrems de cada interval.

D'altra banda, $A$ és un interval obert ja que no conté els extrems, $B$ és un interval tancat, ja que conté ambdós extrems i els conjunts $C$ i $D$ no són ni oberts ni tancats, ja que contenen un dels dos extrems.

Com els intervals apareixen amb molta freqüència a les matemàtiques, s'empra generalment una notació abreujada per designar intervals. Per exemple, els intervals anteriors denoten per $$A=(2,5)=]2,5[$$ $$B=[2,5]$$ $$C=(2,5]=]2,5]$$ $$D=[2,5)=[2,5[$$

Propietats dels intervals

Sigui $\mathbb{R}$ la família de tots els intervals de la recta real. S'inclouen en $\mathbb{R}$ el conjunt buit $\emptyset$ i els punts $a = [a,a]$. Tenen llavors els intervals les propietats següents:

1. La intersecció de dos intervals és un interval, és a dir, $A,B \in \mathbb{R}\Rightarrow A\cap B\in\mathbb{R}$.

2. La unió de dos intervals no disjunts és un interval, és a dir, $A,B \in \mathbb{R}$ i $A\cap B\neq\emptyset \Rightarrow A\cup B\in\mathbb{R}$.

3. La diferència de dos intervals no comparables és un interval, és a dir, $A,B \in \mathbb{R}$ i $A, B$ no comparables $\Rightarrow A-B\in\mathbb{R}$.

Intervals infinits

Els conjunts de la forma $$A=\{x \ | \ x > 1 \}$$ $$B=\{x \ | \ x \leq 0 \}$$ $$C=\{x \ | \ x \in\mathbb{R}\}$$ s'anomenen intervals infinits i se'ls denota també per $$A=(1,\infty)$$ $$B=(-\infty,0)$$ $$C=(-\infty,\infty)$$

Conjunts acotats i no acotats

Sigui $A$ un conjunt de nombres, es diu que $A$ és un conjunt acotat si $A$ és un subconjunt d'un interval finit. Una definició equivalent d'acotació és "El conjunt $A$ és acotat si hi ha un nombre positiu $M$, tal que $|x|\leq M, \ \forall x\in A$". Un conjunt es diu no acotat si no existeix aquesta cota $M$.