Diferència de conjunts

Siguin $A$ i $B$ dos conjunts qualssevol. El conjunt diferència d'$A$ i $B$, que es representa per $A - B$, és el conjunt format per tots els elements que estan en $A$ però no estan en $B$.

Siguin $A$ i $B$ dos conjunts. La diferència de conjunts $A - B$ és:

$$A-B=\{x\in A \ i \ x\notin B\}$$

Els elements que pertanyen a la diferència de conjunts $A - B$ són aquells elements que pertanyen a $A$ i no pertanyen a $B$.

• Si $A = \{a, b, c, d\}$ i $B = \{b, d\}$, la diferència de conjunts $A - B$ és $A − B = \{a,c\}$.
• Si $A = \{ a, b, c, d \}$ i $B = \{ c, d, e, f \}$, aleshores $A - B = \{ a, b \}$.
• Si $W = \{x \ | \ x \ \text{ imparell i } x < 13\}$ i $Z = \{ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \}$, aleshores $W − Z = \{1,3,5\}$ i $Z − W = \{8,10,12,13\}$.

Noteu que la diferència de conjunts no és una operació commutador i si $A, B$ són dos conjunts disjunts, aleshores $A - B = A$ i $B - A = B$.

La diferència simètrica de dos conjunts $A, B$ qualsevol, es defineix com:

$$A\vartriangle B=(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(B\cap A)$$

Algunes propietats del conjunt diferència són:

1. $A-A=\emptyset$
2. $A-\emptyset=\emptyset-A=A$
3. $A-B=A\cap B^c$
4. $A\subset B \Leftrightarrow A-B=\emptyset$
5. $A-(A-B)=A\cap B$
6. $A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$