Definició i notació de conjunts

El concepte de conjunt és intuïtiu i es podria definir com una "col·lecció d'objectes", així, es pot parlar d'un conjunt de persones, ciutats, ulleres, llapis o del conjunt d'objectes que hi ha en un moment donat sobre d'una taula. Un conjunt està ben definit si sabem si un determinat element pertany o no al conjunt. El conjunt dels bolígrafs blaus està ben definit, perquè a la vista d'un bolígraf es pot saber si és blau o no. El conjunt de les persones altes no està ben definit, perquè a la vista d'una persona, no sempre es podrà dir si és alta o no, o pot haver diferents persones, que opinin si aquesta persona és alta o no ho és. Al segle XIX, segons Frege, els elements d'un conjunt es definien només per tal o qual propietat.

Un conjunt és una agrupació, classe o col·lecció d'objectes anomenats elements del conjunt (encara que qualsevol definició donada amaga implícitament paradoxes lògiques o contradiccions). Per objecte entendrem no només ens físics, com taules, cadires, etc., sinó també ens abstractes, com són números, lletres, etc. La relació de pertinença entre els elements i els conjunts sempre és perfectament discernible, en altres paraules, si un objecte pertany a un conjunt o no, sempre pot qualificar com a verdader o fals.

Un conjunt es pot determinar de dues maneres: per extensió i per compressió.

Determinació d'un conjunt per extensió

Un conjunt està determinat per extensió quan s'escriuen un a un tots els seus elements.

Els números menors que $5$: $A=\{1,2,3,4\}$.

Determinació per compressió

Un conjunt està determinat per compressió quan només es menciona una característica comuna de tots els elements.

El conjunt de vocals de l'abecedari: $X=\{x: \ x \text{ és una vocal}\}$.

Notació

Anomenarem element a cada un dels objectes que formen part d'un conjunt. Aquests elements tenen caràcter individual, tenen qualitats que ens permeten diferenciar-los, i cadascun d'ells és únic, sense haver-hi elements duplicats o repetits. Els representarem amb una lletra minúscula: $a, b, c,\ldots$

• $\in$ / $\notin$: S'usa per a expressar si un element pertany o no a un conjunt.

• $\subset$: S'usa per expressar que un conjunt, i per tant, tots els seus elements, formen part d'un altre conjunt més gran.

• $ U $ / $\emptyset$: El primer símbol indica el conjunt universal, és el conjunt de totes les coses sobre les que estem tractant. Així, si parlem de nombres enters llavors $ U $ és el conjunt dels nombres enters, si parlem de ciutats, $ U $ és el conjunt de totes les ciutats, aquest conjunt universal pot esmentar explícitament, o en la majoria dels casos es dóna per fet donat el context que estem tractant, però sempre cal demostrar l'existència d'aquest conjunt prèviament. L'altre conjunt se l'anomena conjunt buit i compleix que tots els elements possibles no estan continguts en ell, és a dir $\forall x, \ x\notin\emptyset$.