Definición y notación de conjuntos

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad.

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones). Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso.

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por compresión.

Determinación de un conjunto por extensión

Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.

Los números menores que $5$: $A=\{1,2,3,4\}$.

Determinación por compresión

Un conjunto está determinado por compresión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.

El conjunto de vocales del abecedario: $X=\{x: \ x \text{ es una vocal}\}$.

Notación

Llamaremos elemento a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: $a, b, c,\ldots$

• $\in$ / $\notin$: Se usa para expresar si un elemento pertenece o no a un conjunto.

• $\subset$: Se usa para expresar que un conjunto, y por lo tanto, todos sus elementos, forman parte de otro conjunto mayor.

• $ U $ / $\emptyset$: El primer símbolo indica el conjunto universal, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces $ U $ es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, $ U $ es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.

El otro conjunto, se le llama conjunto vacío y cumple que todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir $\forall x, \ x\notin\emptyset$.