Sistemes d'equacions lineals n x m

Quan s'obté un conjunt d'equacions lineals parlarem d'un sistema d'equacions lineals. En general aquest pot tenir $n$ incògnites i $m$ equacions.

Sigui doncs el sistema $$\left\{ \begin{array}{c} x+y+t=0 \\ x-y-t=2 \end{array} \right.$$

En aquest cas $n=3$ i $m=2$, ja que tenim $3$ incògnites $(x,y,t)$ i només dues equacions.

La manera més general d'escriure un sistema és la següent: $$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_n=b_3 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right.$$

On els $a$ són coeficients, les $x$ són les incògnites (n'hi ha $n$) i els $b$ són els termes independents (n'hi ha $m$). En general $n$ i $m$ no tenen perquè ser el mateix nombre, podent ser $n > m$, $n < m$.

Cal remarcar que quan el sistema té poques incògnites, és a dir, quan $n$ és petit, les incògnites solen anomenar-se amb lletres diferents $(x, y, t, z, \ldots)$ en lloc d'utilitzar el subíndexs.

A més si tots els termes $b$ són nuls es diu que és un sistema homogeni.

En el cas de sistemes d'equacions també s'anomena sistemes equivalents a aquells que tenen les solucions iguals.

Una manera alternativa d'escriure el sistema d'equacions consisteix a escriure la matriu dels coeficients de la manera següent:

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$

(Normalment s'haurà de reescriure el sistema mitjançant la seva matriu per poder utilitzar els mètodes de resolució habituals.)

En general els sistemes d'equacions podran classificar-se segons tinguin o no solució, i en el cas afirmatiu si tenen una o infinites.

La classificació és de la manera següent:

Practicar exercicis