Sistemas de ecuaciones lineales n x m

Cuando se obtiene un conjunto de ecuaciones lineales hablamos de un sistema de ecuaciones lineales. En general este puede tener $n$ incógnitas y $m$ ecuaciones.

Sea pues el sistema $$\left\{ \begin{array}{c} x+y+t=0 \\ x-y-t=2 \end{array} \right.$$

En este caso $n=3$ y $m=2$, pues tenemos $3$ incógnitas $(x,y,t)$ y solamente dos ecuaciones.

La manera más general de escribir un sistema es la que sigue: $$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_n=b_3 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right.$$

Donde los $a$ son coeficientes, las $x$ son las incógnitas (hay $n$) y los $b$ son los términos independientes (hay $m$). En general $n$ y $m$ no tienen porque ser el mismo número, pudiendo ser $n > m$, $n < m$.

Cabe remarcar que cuando el sistema tiene pocas incógnitas, o sea, cuando $n$ es pequeño, las incógnitas suelen llamarse con letras diferentes $(x, y, t, z, \ldots)$ en vez de usar lo subíndices.

Además si todos los términos $b$ son nulos se dice que es un sistema homogéneo.

En el caso de sistemas de ecuaciones también se llama sistemas equivalentes a aquellos cuyas soluciones son iguales.

Una manera alternativa de escribir el sistema de ecuaciones consiste en escribir la matriz de los coeficientes como sigue:

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$

(Normalmente se deberá reescribir el sistema mediante su matriz para poder utilizar los métodos de resolución habituales.)

En general los sistemas de ecuaciones podrán clasificarse según tengan o no solución, y en el caso afirmativo si tienen una o infinitas.

La clasificación será como sigue:

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