Conversió de base decimal a un altre sistema de numeració

El primer pas per transformar un nombre decimal en un altre en base $b$ és realitzar successives divisions enteres del nombre per la base $b$.

Com s'expressaria el número $7$ en un sistema de numeració en base $5$?

Per a això caldrà dividir $7$ entre $5$ i retenir el quocient i el residu:

$$(7)_{10} \Rightarrow \begin{eqnarray} &7 & |\underline{5} \\ & \fbox{2} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$

El nombre buscat té com a primera xifra el resultat de la divisió, i com a segona, el residu.

Així, l'equivalent de $7$ en base $5$ serà:

$$(12)_5$$

Es pot comprovar que l'operació és correcta descomposant el número obtingut:

$$(12)_5=1\cdot5^1+2\cdot5^0=5+2=7$$

Seguint en la mateixa línia, el número $13$ equival en binari (sistema sobre la base $2$) a:

$$\begin{eqnarray} &(13)_{10} \Rightarrow & 13 & |\underline{2} & & & \\ & & \fbox{1} & 6 & |\underline{2} & \\ & & & \fbox{0} & 3 & |\underline{2} \\ & & & & \fbox{1} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$

La primera xifra del nombre buscat és el resultat de l'última divisió, la segona la resta de la mateixa, i la tercera i la quarta xifres són les restes de les divisions anteriors, així que el nombre obtingut és:

$$(13)_{10}=(1101)_2$$

Es pot tornar a comprovar que els càlculs són correctes descomposant el nombre obtingut:

$$(1101)_2=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=8+4+0+1=13$$

Transformar el $47$ a sistema hexadecimal:

Hexadecimal implica base $16$, així que caldrà dividir $47$ entre $16$ tantes vegades com es pugui per trobar el número:

$$(47)_{10} \Rightarrow \begin{eqnarray} &47 & |\underline{16} \\ & \fbox{15} & \fbox{2} \end{eqnarray}$$

Per tant tenim:

$$(47)_{10}=(2(15))_{16}=(2F)_{16}$$

Cal recordar que el símbol per a expressar $15$ en hexadecimal és $F$.

Descompondre el nombre en potències de $16$ permet corroborar que el resultat és correcte:

$$(2F)_{16}=2\cdot16^1+15\cdot16^0=32+15=47$$

Per transformar el següent número a sistema binari:

$$(115)_6$$

Primer cal passar-ho a sistema decimal i després convertir-lo a binari realitzant totes les possibles divisions enteres entre $2$.

$$(115)_6=1\cdot6^2+1\cdot6^1+5\cdot6^0=36+6+5=47$$

$$\begin{eqnarray} &(47)_{10} \Rightarrow & 47 & |\underline{2} & & & & & \\ & & \fbox{1} & 23 & |\underline{2} & & & & \\ & & & \fbox{1} & 11 & |\underline{2} & & & \\ & & & & \fbox{1} & 5 & |\underline{2} & & \\ & & & & & \fbox{1} & 2 & |\underline{2} \\ & & & & & & \fbox{0} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$

D'aquesta manera:

$$(115)_6=(101111)_2$$