Conversión de base decimal a otro sistema de numeración

El primer paso para transformar un número decimal en otro en base $b$ es realizar sucesivas divisiones enteras del número por la base $b$.

¿Cómo se expresaría el número $7$ en un sistema de numeración en base $5$?

Para ello habrá que dividir $7$ entre $5$ y retener el cociente y el resto:

$$(7)_{10} \Rightarrow \begin{eqnarray} &7 & |\underline{5} \\ & \fbox{2} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$

El número buscado tiene como primera cifra el resultado de la división, y como segunda, el resto.

Así, el equivalente de $7$ en base $5$ será:

$$(12)_5$$

Se puede comprobar que la operación es correcta descomponiendo el número tal y como se ha visto en el nivel anterior:

$$(12)_5=1\cdot5^1+2\cdot5^0=5+2=7$$

Siguiendo en la misma línea, el número $13$ equivale en binario (sistema en base $2$) a:

$$\begin{eqnarray} &(13)_{10} \Rightarrow & 13 & |\underline{2} & & & \\ & & \fbox{1} & 6 & |\underline{2} & \\ & & & \fbox{0} & 3 & |\underline{2} \\ & & & & \fbox{1} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$

La primera cifra del número buscado es el resultado de la última división, la segunda el resto de la misma, y la tercera y la cuarta cifras son los restos de las divisiones anteriores, así que el número obtenido es:

$$(13)_{10}=(1101)_2$$

Se puede volver a comprobar que los cálculos son correctos descomponiendo el número obtenido:

$$(1101)_2=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=8+4+0+1=13$$

Transformar el $47$ a sistema hexadecimal:

Hexadecimal implica base $16$, así que habrá que dividir $47$ entre $16$ tantas veces como se pueda para hallar el número:

$$(47)_{10} \Rightarrow \begin{eqnarray} &47 & |\underline{16} \\ & \fbox{15} & \fbox{2} \end{eqnarray}$$

Por lo que:

$$(47)_{10}=(2(15))_{16}=(2F)_{16}$$

Cabe recordar que el símbolo para expresar $15$ en hexadecimal es $F$.

Descomponer el número en potencias de $16$ permite corroborar que el resultado es correcto:

$$(2F)_{16}=2\cdot16^1+15\cdot16^0=32+15=47$$

Para transformar el siguiente número a sistema binario:

$$(115)_6$$

Primero hay que pasarlo a sistema decimal y luego convertirlo a binario realizando todas las posibles divisiones enteras entre $2$.

$$(115)_6=1\cdot6^2+1\cdot6^1+5\cdot6^0=36+6+5=47$$

$$\begin{eqnarray} &(47)_{10} \Rightarrow & 47 & |\underline{2} & & & & & \\ & & \fbox{1} & 23 & |\underline{2} & & & & \\ & & & \fbox{1} & 11 & |\underline{2} & & & \\ & & & & \fbox{1} & 5 & |\underline{2} & & \\ & & & & & \fbox{1} & 2 & |\underline{2} \\ & & & & & & \fbox{0} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$

De modo que:

$$(115)_6=(101111)_2$$