Terme general d'una progressió geomètrica

Per trobar el terme general d'una progressió geomètrica utilitzant la fórmula que les caracteritza, escrivim una expressió que les defineix recursivament: $$a_{n+1}=a_n \cdot r$$

Si apliquem aquesta llei recursivament per construir la successió, obtenim que:

$$a_2=a_1\cdot r$$ $$a_3=a_2\cdot r=(a_1\cdot r)\cdot r=a_1(r\cdot r)=a_1\cdot r^2$$ $$a_4=a_3\cdot r=(a_1\cdot r^2)\cdot r=a_1(r^2 \cdot r)=a_1\cdot r^3$$ $$a_5=a_4\cdot r=(a_1\cdot r^3)\cdot r=a_1(r^3 \cdot r)=a_1\cdot r^4$$ $$\ldots$$

I, en general tenim que $$a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$$ Aquesta expressió ens relaciona qualsevol terme de la successió amb el primer a través de la raó de la progressió, és a dir, és el terme general de la progressió geomètrica.

Volem trobar que nombre ocupa la posició $37$ en la successió $\Big(\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},1,2,\ldots\Big).$

Observem que es tracta d'una progressió geomètrica perquè el quocient entre dos termes consecutius és constant i igual a $2$.

Com el primer terme és $a_1=\dfrac{1}{8}$, i la raó és $r=2$, ens queda que: $$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{8}=\dfrac{2^{n-1}}{2^3}=2^{n-4}$$

Com volem trobar el terme $a_{37}$, tenim que: $$a_{37}=2^{37-4}=2^{33}=8.589.934.592$$

Els termes d'una progressió geomètrica es poden expressar a partir de qualsevol altre terme amb la següent expressió: $$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$ ja que, si apliquem el terme general a les posicions $m$ i $k$, tenim que $$a_m=a_1 \cdot r^{m-1}$$ $$a_k=a_1 \cdot r^{k-1}$$ fent quocient d'aquestes dues expressions obtenim: $$\dfrac{a_m}{a_k}=\dfrac{a_1 \cdot r^{m-1}}{a_1 \cdot r^{k-1}}=\dfrac{r^{m-1}}{r^{k-1}}=r^{m-1-(k-1)}=r^{m-1-k+1}=r^{m-k}$$ D'on tenim: $$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$

En una progressió geomètrica de raó $r=\dfrac{1}{2}$ es té que $a_{17}=24$, i es vol trobar el terme $a_{24}$.

Sabem que $a_m=a_k \cdot r^{m-k}$, i per tant:

$$a_{24}=a_{17}\cdot r^{24-17}=a_{17}\cdot r^7=24 \cdot \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^7=\dfrac{24}{2^7}=\dfrac{3\cdot2^3}{2^7}=\dfrac{3}{2^4}=\dfrac{3}{16}$$

Així que $a_{24}=\dfrac{3}{16}.$