Término general de una progresión geométrica

Para encontrar el término general de una progresión geométrica utilizando la fórmula que las caracteriza, escribimos una expresión que las define recursivamente: $$a_{n+1}=a_n \cdot r$$

Si aplicamos esta ley recursivamente para construir la sucesión, obtenemos que:

$$a_2=a_1\cdot r$$ $$a_3=a_2\cdot r=(a_1\cdot r)\cdot r=a_1(r\cdot r)=a_1\cdot r^2$$ $$a_4=a_3\cdot r=(a_1\cdot r^2)\cdot r=a_1(r^2 \cdot r)=a_1\cdot r^3$$ $$a_5=a_4\cdot r=(a_1\cdot r^3)\cdot r=a_1(r^3 \cdot r)=a_1\cdot r^4$$ $$\ldots$$

Y, en general nos queda que, $$a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$$ Esta expresión nos relaciona cualquier término de la sucesión con el primero a través de la razón de la progresión, es decir, es el término general de la progresión geométrica.

Queremos encontrar qué número ocupa la posición $37$ en la sucesión $\Big(\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},1,2,\ldots\Big).$

Observamos que se trata de una progresión geométrica porque el cociente entre dos términos consecutivos es constante e igual a $2$.

Como el primer término es $a_1=\dfrac{1}{8}$, y la razón es $r=2$, nos queda que: $$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{8}=\dfrac{2^{n-1}}{2^3}=2^{n-4}$$

Como queremos encontrar el término $a_{37}$, tenemos que: $$a_{37}=2^{37-4}=2^{33}=8.589.934.592$$

Los términos de una progresión geométrica se pueden expresar a partir de cualquier otro término con la siguiente expresión: $$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$ ya que, si aplicamos el término general a las posiciones $m$ y $k$, tenemos que: $$a_m=a_1 \cdot r^{m-1}$$ $$a_k=a_1 \cdot r^{k-1}$$ Y haciendo cociente de estas dos expresiones obtenemos: $$\dfrac{a_m}{a_k}=\dfrac{a_1 \cdot r^{m-1}}{a_1 \cdot r^{k-1}}=\dfrac{r^{m-1}}{r^{k-1}}=r^{m-1-(k-1)}=r^{m-1-k+1}=r^{m-k}$$ De donde se tiene: $$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$

En una progresión geométrica de razón $r=\dfrac{1}{2}$ se tiene que $a_{17}=24$, y se quiere encontrar el término $a_{24}$.

Sabemos que: $a_m=a_k \cdot r^{m-k}$, con lo cual:

$$a_{24}=a_{17}\cdot r^{24-17}=a_{17}\cdot r^7=24 \cdot \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^7=\dfrac{24}{2^7}=\dfrac{3\cdot2^3}{2^7}=\dfrac{3}{2^4}=\dfrac{3}{16}$$

Así que $a_{24}=\dfrac{3}{16}.$