Sumes infinites de sèries

Si en comptes de sumar només els $n$ primers termes d'una successió, els volem sumar tots, escriurem: $$S=\sum_{n \geq 1} a_n$$

Per indicar que estem sumant tots els termes a partir del primer. A aquesta suma $S$ l'anomenem sèrie.

Si la successió de la qual estem calculant la seva sèrie és una progressió geomètrica, podem estendre la fórmula: $$S_n=\dfrac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$$ i en fer tendir $n$ a infinit, es poden donar dues situacions,

$$\left\{ \begin{array}{l} \mbox{si} \ r\leq 1 \Rightarrow r^n\rightarrow \infty \\\\ \mbox{si} \ r < 1 \Rightarrow r^n\rightarrow 0 \end{array} \right.$$

Amb el que ens queden dues opcions:

• En una progressió geomètrica de raó $r \geq 1$, les sumes $S_n$ creixen arbitràriament en augmentar el valor de $n$, i es diuen que tendeixen a infinit, o que la sèrie és divergent.
• Per contra, una progressió geomètrica de raó $r < 1$ les sumes $S_n$ s'estacionen i s'acosten cada vegada més a la quantitat: $$S=\dfrac{a_1}{1-r}$$ que anomenem suma de la sèrie. En aquest cas direm que la sèrie és convergent.

Continuant amb els exemples anteriors,

$\sum_{n \geq 1}a_n = \sum_{n \geq 1}3\cdot 2^{n-1}$ és divergent per ser la sèrie d'una progressió geomètrica de raó $r=2 \geq 1$, mentre que la sèrie: $\sum_{n \geq 1}b_n = \sum_{n \geq 1}\dfrac{7}{3^{n-1}}=\dfrac{b_1}{1-r}=\dfrac{7}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{21}{2}$ és convergent ja que és la sèrie d'una progressió geomètrica de raó $r=\dfrac{1}{3} < 1.$