Sumas infinitas de series

Si en vez de sumar solamente los $n$ primeros términos de una sucesión, los queremos sumar todos, escribiremos: $$S=\sum_{n \geq 1} a_n$$

Para indicar que estamos sumando todos los términos a partir del primero. A esta suma $S$ la denominamos serie.

Si la sucesión de la que estamos calculando su serie es una progresión geométrica, podemos extender la fórmula: $$S_n=\dfrac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$$ y al hacer tender $n$ a infinito, se pueden dar dos situaciones,

$$\left\{ \begin{array}{l} \mbox{si} \ r\leq 1 \Rightarrow r^n\rightarrow \infty \\\\ \mbox{si} \ r < 1 \Rightarrow r^n\rightarrow 0 \end{array} \right.$$

Con lo que nos quedan dos opciones:

• En una progresión geométrica de razón $r \geq 1$, las sumas $S_n$ crecen arbitráriamente al aumentar el valor de $n$, y se dicen que tienden a infinito, o que la serie es divergente.
• Por el contrario, una progresión geométrica de razón $r < 1$ las sumas $S_n$ se estacionan y se acercan cada vez más a la cantidad: $$S=\dfrac{a_1}{1-r}$$ que llamamos suma de la serie. En este caso diremos que la serie es convergente.

Continuando con los ejemplos anteriores,

$\sum_{n \geq 1}a_n = \sum_{n \geq 1}3\cdot 2^{n-1}$ es divergente por ser la serie de una progresión geométrica de razón $r=2 \geq 1$, mientras que la serie:

$$\sum_{n \geq 1}b_n = \sum_{n \geq 1}\dfrac{7}{3^{n-1}}=\dfrac{b_1}{1-r}=\dfrac{7}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{21}{2}$$

es convergente ya que es la serie de una progresión geométrica de razón $r=\dfrac{1}{3} < 1.$