Definició de progressió geomètrica

Una progressió geomètrica és un tipus de successió, és a dir, una col·lecció ordenada i infinita de nombres reals, on cada terme s'obté multiplicant una quantitat constant al terme anterior.

Si considerem la successió que té com a primers termes: $$a=(3,6,12,24,48,\ldots)$$ i fem el quocient de cada terme per l'anterior, $$\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{6}{3}=2,$$ $$\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{12}{6}=2,$$ $$\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{24}{12}=2,$$ $$\dfrac{a_5}{a_4}=\dfrac{48}{24}=2.$$

Podem veure que aquest quocient és sempre un mateix nombre: $2$. Així que podem definir aquesta successió de forma recursiva multiplicant per $2$ per obtenir el següent.

Fent una definició formal, direm que una progressió geomètrica, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, és una successió en què el quocient entre dos termes consecutius és constant, és a dir:

$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r$$

per a qualsevol natural $n$. Anomenarem a la constant $r$ raó de la progressió.

La successió $(1,3,9,27,81,\ldots)$ és una successió geomètrica de raó $r=3$.

La successió $\Big(\dfrac{1}{2},1,2,4,8,\ldots\Big)$ és una successió geomètrica de raó $r=2$.

La successió $\Big(1,\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{16},\dfrac{1}{64},\dfrac{1}{256},\ldots\Big)$ és una successió geomètrica de raó $r=\dfrac{1}{4}$.