Definición de progresión geométrica

Una progresión geométrica es un tipo de sucesión, es decir, una colección ordenada e infinita de números reales, donde cada término se obtiene multiplicando una cantidad constante al término anterior.

Si consideramos la sucesión que tiene como primeros términos: $$a=(3,6,12,24,48,\ldots)$$ y hacemos el cociente de cada término por el anterior, $$\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{6}{3}=2,$$ $$\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{12}{6}=2,$$ $$\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{24}{12}=2,$$ $$\dfrac{a_5}{a_4}=\dfrac{48}{24}=2.$$

Podemos ver que este cociente es siempre un mismo número: $2$. Así que podemos definir esta sucesión de forma recursiva multiplicando por $2$ para obtener el siguiente.

Haciendo una definición formal, diremos que una progresión geométrica, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, es una sucesión en que el cociente entre dos términos consecutivos es constante, es decir:

$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r$$

para cualquier natural $n$. Llamaremos a la constante $r$ razón de la progresión.

La sucesión $(1,3,9,27,81,\ldots)$ es una sucesión geométrica de razón $r=3$.

La sucesión $\Big(\dfrac{1}{2},1,2,4,8,\ldots\Big)$ es una sucesión geométrica de razón $r=2$.

La sucesión $\Big(1,\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{16},\dfrac{1}{64},\dfrac{1}{256},\ldots\Big)$ es una sucesión geométrica de razón $r=\dfrac{1}{4}$.