Definició de progressió aritmètica

Una progressió aritmètica és un tipus de successió, és a dir, una col·lecció ordenada i infinita de nombres reals, on cada terme s'obté sumant una quantitat constant a l'anterior.

Si considerem les successions que tenen com a primers termes:

$$a=(2,5,8,11,14,\ldots),$$

$$b=(3,1,-1,-3,-5,-7,\ldots),$$

$$c=\Big(1,\dfrac{3}{2},2,\dfrac{5}{2},3,\ldots\Big).$$

I, en cadascuna d'elles calculem la diferència entre cada terme i l'anterior:

En $a$,

$$\begin{array}{c} \underbrace{2, 5} \\\\ 3 \end{array}$$ $\begin{array}{c} \underbrace{5, 8} \\\\ 3 \end{array}$ $$\begin{array}{c} \underbrace{8, 11} \\\\ 3 \end{array}$$ $\begin{array}{c} \underbrace{11, 14} \\\\ 3 \end{array}$

En $b$,

$$\begin{array}{c} \underbrace{3, 1} \\\\ -2 \end{array}$$ $\begin{array}{c} \underbrace{1, -1} \\\\ -2 \end{array}$ $$\begin{array}{c} \underbrace{-1, -3} \\\\ -2 \end{array}$$ $\begin{array}{c} \underbrace{-3, -5} \\\\ -2 \end{array}$

En $c$,

$$\begin{array}{c} \underbrace{1, \dfrac{3}{2}} \\\\ \dfrac{1}{2} \end{array}$$ $\begin{array}{c} \underbrace{\dfrac{3}{2}, 2} \\\\ \dfrac{1}{2} \end{array}$ $$\begin{array}{c} \underbrace{2, \dfrac{5}{2}} \\\\ \dfrac{1}{2} \end{array}$$ $\begin{array}{c} \underbrace{\dfrac{5}{2}, 3} \\\\ \dfrac{1}{2} \end{array}$

En els tres casos es troba que aquestes diferències valen sempre el mateix valor: $3$ a la primera successió, $-2$ en la segona i $\dfrac{1}{2}$ a la tercera.

Dit d'una altra manera, cada terme s'obté sumant a l'anterior un mateix nombre.

Fent una definició formal, direm que una progressió aritmètica, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, és una successió en què la diferència de cada terme amb l'anterior és constant, és a dir:

$$a_{n+1}-a_n=d$$

per a qualsevol natural $n$. Anomenarem a la constant $d$ diferència de la progressió.

Les diferències de les progressions $a$, $b$ i $c$ són, respectivament, $3,-2$ i $\dfrac{1}{2}$