Producte, quocient i suma d'arrels quadrades

Producte i quocient

L'arrel quadrada del producte de dos nombres és el producte de les dues arrels quadrades d'aquests números, és a dir: $$\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$$

$$\sqrt{36}=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\cdot3=6$$

o també

$$\sqrt{25\cdot81}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{81}=5\cdot9=45$$

L'arrel quadrada d'un quocient és el quocient de les arrels quadrades, és a dir: $$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$$

$$\sqrt{\dfrac{16}{4}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\dfrac{4}{2}=2$$

o també

$$\sqrt{\dfrac{49}{64}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\dfrac{7}{8}$$

Aquestes dues propietats permeten facilitar el càlcul d'arrels de nombres que són producte de dos nombres que són quadrats perfectes.

Si volem calcular l'arrel de $11.664$, observem que $144\cdot81=11.664$ i aleshores podem fer-ho fàcilment.

$$\sqrt{11.664}=\sqrt{144\cdot81}=\sqrt{144}\cdot\sqrt{81}=12\cdot9=108$$

I també faciliten el càlcul d'arrels de quocients. Per exemple,

$$\sqrt{\dfrac{784}{625}}=\dfrac{\sqrt{784}}{\sqrt{625}}=\dfrac{\sqrt{16\cdot49}}{\sqrt{25\cdot25}}=\dfrac{\sqrt{16}\sqrt{49}}{\sqrt{25}\sqrt{25}}=\dfrac{4\cdot7}{5\cdot5}=\dfrac{28}{25}$$

Suma d'arrels quadrades

Hem de ser conscients que l'arrel quadrada de la suma de dos nombres no és el mateix de la suma de les arrels d'aquests nombres. És a dir, $$\sqrt{9+4}\neq \sqrt{9}+\sqrt{4}$$ atès que si ho calculem tenim $$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$ i d'altra banda $$\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$$

Així hem obtingut que: $\sqrt{13}=5$ cosa que és impossible donat que $5\cdot5$ no és $13$.

Cuando se tiene una expresión del tipo: $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ no podem AJUNTAR les arrels i escriure $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}$.

El que sí que podem fer és que donada una expressió del tipus: $a\sqrt{x}+b\sqrt{x}$ es poden sumar (i restar també) els coeficients.

$$5\sqrt{17}-2\sqrt{17}=3\sqrt{17}$$

Vegem un altre exemple de càlcul:

Volem calcular

$$5\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}+7\sqrt{21}-\sqrt{64}+2\sqrt{21}$$

Primer, utilitzant els quadrats perfectes més comuns tenim que $\sqrt{144}=12$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{64}=8$ i ho substituïm en la expressió que volem resoldre:

$$5\dfrac{12}{4}+7\sqrt{21}-8+2\sqrt{21}$$

Ara realitzem les sumes entre els nombres que tenen $\sqrt{21} $ per un costat i els que no ho tenen per l'altre:

$$\Big(5\dfrac{12}{4}-8\Big)+(7+2)\sqrt{21}$$

Que en calcular-ho dóna:

$$7+9\sqrt{21}$$