Potències

Calculem $2\cdot 2=4$ i també $2 \cdot 2 \cdot 2=8$. Aquestes multiplicacions són senzilles i ràpides d'escriure, però no sempre és així. Vegem què passa si volem multiplicar $2$ per ell mateix set vegades. Haurem d'escriure $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=128$. En aquest cas ja ens n'adonem que és més feixuc escriure l'operació.

Per això s'utilitza una notació molt més pràctica: les potències. Així doncs s'escriu el nombre que es vol multiplicar per ell mateix i en forma de superíndex les vegades que es multiplica.

D'aquesta manera s'indica el nombre de vegades que volem multiplicar-lo per si mateix.

Per exemple,

Si volem multiplicar el nombre $5$ per ell mateix $6$ vegades, s'escriu: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5= 5^6$

Per tant, atès que $2 \cdot 2=4$ podem escriure que $2^2=4$, i llegirem que "dos elevat a dos és igual a quatre". O també $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4$, "quatre elevat a quatre", o bé $134 \cdot 134 \cdot 134 = 134^3 $, "cent trenta-quatre elevat a tres".

Així, es té per exemple,

$3^5= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ de manera que ens estalviem escriure tal producte de forma llarga i extensa. En aquest cas es llegeix "tres elevat a cinc" que vol dir que multipliquem cinc vegades el número tres per ell mateix.

En una expressió del tipus $a^n=b$ on $a$, $b$ i $n$ són nombres naturals, vol dir que $a \cdot a \cdot\overset{(n)}{\ldots}\cdot a=b$ i es distingeixen diferents elements.

• $a$ és la base de la potència.
• $n$ és l'exponent de la potència.
• $b$ és la $n$-èssima potència de $a$. (Quan $n$ és $2$ se l'anomena quadrat i quan és $3$ cub)

Vegem alguns exemples:

$7 \cdot 7=7^2=49$ on $7$ és la base de la potència, $2$ és l'exponent i $49$ és el quadrat de $7$.

$2^8=256$ on $2$ és la base, $8$ l'exponent i $256$ és la vuitena potència de $2$.

Vegem ara algunes potències especials:

$0^1=0, 0^2=0 \ldots$ atès que per moltes vegades que multipliquem zero per ell mateix sempre dóna zero. $1^2=1\cdot 1=1, 1^3=1\cdot 1\cdot 1=1 \ldots$ atès que per moltes vegades que multipliquem un per ell mateix sempre continua sent u. $3^1=3, 8^1=8, \ldots$ i això mateix serveix per a qualsevol número amb exponent $1$. Com que multiplicar pel mateix un cop vol dir no fer res. Per a tot nombre es compleix: $a^1=a$

Cal tenir en compte a més, que per conveni s'estableix que per a qualsevol nombre es compleix que: $a^0=1$. Així doncs, $4^0=1, 345^0=1, 78^0=1, \ldots$