Potencias

Calculemos $2\cdot 2=4$ y también $2 \cdot 2 \cdot 2=8$. Estas multiplicaciones son sencillas y rápidas de escribir, pero no siempre es así. Veamos que pasa si queremos multiplicar $2$ por él mismo siete veces. Deberemos escribir $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=128$. En este caso ya nos damos cuenta que es más pesado escribir la operación.

Por eso se utiliza una notación mucho más práctica: las potencias. Así pues se escribe el número que se quiere multiplicar por él mismo y en forma de superíndice las veces que se multiplica. De esta forma se indica el número de veces que queremos multiplicarlo por si mismo.

Por ejemplo,

Si queremos multiplicar el número $5$ por él mismo $6$ veces, se escribe: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5= 5^6$

Por lo tanto, dado que $2 \cdot 2=4$ podemos escribir que $2^2=4$, y leeremos que "dos elevado a dos es igual a cuatro". O también $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4$ "cuatro elevado a cuatro", o bien $134 \cdot 134 \cdot 134 = 134^3 $, "ciento treinta y cuatro elevado a tres".

Así, se tiene por ejemplo,

$3^5= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ de forma que nos ahorramos escribir tal producto de forma larga i extensa. En este caso se lee "tres elevado a cinco" que quiere decir que multiplicamos cinco veces el número tres por él mismo.

En una expresión del tipo $a^n=b$ donde $a$, $b$ y $n$ son números naturales, significa que $a \cdot a \cdot\overset{(n)}{\ldots}\cdot a=b$ y se distinguen distintos elementos.

• $a$ es la base de la potencia.
• $n$ es el exponente de la potencia.
• $b$ es la $n$-ésima potencia de $a$. (cuando $n$ es $2$ se le llama cuadrado y cuando es $3$ cubo)

Veamos algunos ejemplos:

$7 \cdot 7=7^2=49$ donde $7$ es la base de la potencia, $2$ es el exponente y $49$ es el cuadrado de $7$.

$2^8=256$ donde $2$ es la base, $8$ el exponente y $256$ es la octava potencia de $2$.

Veamos ahora algunas potencias especiales:

$0^1=0, 0^2=0 \ldots$ dado que por muchas veces que multipliquemos cero por él mismo siempre da cero. $1^2=1\cdot 1=1, 1^3=1\cdot 1\cdot 1=1 \ldots$ dado que por muchas veces que multipliquemos uno por él mismo siempre sigue siendo uno. $3^1=3, 8^1=8, \ldots$ y esto mismo sirve para cualquier número con exponente $1$. Puesto que multiplicarlo por el mismo una vez significa no hacer nada. Para todo número se cumple: $a^1=a$

Debe tenerse en cuenta además, que por convenio se establece que para cualquier número se cumple que: $a^0=1$. Así pues, $4^0=1, 345^0=1, 78^0=1, \ldots$