Fraccions algebraiques equivalents

Una fracció algebraica és un quocient de polinomis.

Vegem alguns exemples:

$$\dfrac{x^2-3}{x+1}$$

$$\dfrac{x^4+x^3+x-1}{x^3+2x+3}$$

$$\dfrac{x^6}{x-2}$$

De manera anàloga a les fraccions, podem definir que dues fraccions algebraiques són equivalents si el seu producte en creu és igual. És a dir, si tenim: $$\dfrac{p(x)}{q(x)} \ \mbox{i} \ \dfrac{r(x)}{s(x)}$$ dos parells de fraccions algebraiques, seran equivalents si, i només si: $$p(x)\cdot s(x)=r(x)\cdot q(x)$$

Vegem si aquest parell de fraccions algebraiques són equivalents: $$\dfrac{x^2-1}{x} \ \mbox{i} \ \dfrac{(x-1)^2}{x}$$ Per comprovar-ho, realitzarem els productes creuats: $$(x^2-1)\cdot x=x^3-x$$ $$x\cdot(x-1)^2=x\cdot(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x$$ Que evidentment no són polinomis iguals. Per tant, les fraccions anteriors no són equivalents.

Vegem si aquest parell de fraccions algebraiques són equivalents: $$\dfrac{x-1}{x+1} \ \mbox{i} \ \dfrac{(x-1)^2}{x^2-1}$$ Per comprovar-ho, realitzarem els productes creuats: $$(x-1)\cdot (x^2-1)=x\cdot(x^2-1)-1\cdot(x^2-1)=$$ $$=x^3-x-x^2+1=x^3-x^2-x+1$$

$$(x+1)\cdot(x-1)^2=(x+1)\cdot(x^2-2x+1)=$$ $$x\cdot (x^2-2x+1)+1\cdot(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x+x^2-2x+1=$$ $$=x^3-x^2-x+1$$ Efectivament, són iguals, i per tant, les fraccions anteriors són equivalents.