Fracciones algebraicas equivalentes

Una fracción algebraica es un cociente de polinomios.

Veamos algunos ejemplos:

$$\dfrac{x^2-3}{x+1}$$

$$\dfrac{x^4+x^3+x-1}{x^3+2x+3}$$

$$\dfrac{x^6}{x-2}$$

De manera análoga a las fracciones, podemos definir que dos fracciones algebraicas son equivalentes si su producto en cruz es igual. Esto es, si tenemos: $$\dfrac{p(x)}{q(x)} \ \mbox{y} \ \dfrac{r(x)}{s(x)}$$ dos pares de fracciones algebraicas, serán equivalentes si, y sólo si: $$p(x)\cdot s(x)=r(x)\cdot q(x)$$

Veamos si este par de fracciones algebraicas son equivalentes: $$\dfrac{x^2-1}{x} \ \mbox{y} \ \dfrac{(x-1)^2}{x}$$ Para comprobarlo, realizaremos los productos cruzados: $$(x^2-1)\cdot x=x^3-x$$ $$x\cdot(x-1)^2=x\cdot(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x$$ Que evidentemente no son polinomios iguales. Por lo tanto, las fracciones anteriores no son equivalentes.

Veamos si este par de fracciones algebraicas son equivalentes: $$\dfrac{x-1}{x+1} \ \mbox{y} \ \dfrac{(x-1)^2}{x^2-1}$$ Para comprobarlo, realizaremos los productos cruzados: $$(x-1)\cdot (x^2-1)=x\cdot(x^2-1)-1\cdot(x^2-1)=$$ $$=x^3-x-x^2+1=x^3-x^2-x+1$$

$$(x+1)\cdot(x-1)^2=(x+1)\cdot(x^2-2x+1)=$$ $$x\cdot (x^2-2x+1)+1\cdot(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x+x^2-2x+1=$$ $$=x^3-x^2-x+1$$ Efectivamente, son iguales, y por lo tanto, las fracciones anteriores son equivalentes.