Arrels enèsimes

La forma trigonomètrica d'un complex es pot expressar de manera exponencial, és a dir, qualsevol nombre complex $z$ té una representació del tipus: $$ |z|\cdot e^{i\alpha}$$ on $|z|$ és el seu mòdul i $\alpha$ el seu argument.

Si tenim els nombres complexos d'aquesta forma trigonomètrica és molt fàcil calcular les arrels enèsimes, ja que tenim

$$\sqrt[n]{|z|\cdot e^{i\alpha}}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \sqrt[n]{e^{i\alpha}}= \sqrt[n]{|z|}\cdot e^{i\frac{\alpha+k360^\circ}{n}}$$

usant les propietats de les arrels i potències amb exponent racional.

En el cas particular dels nombres complexos amb mòdul $1$ (aquests vénen representats per $e^{i\alpha}$ on l'angle $\alpha$ és l'argument del nombre complex), llavors les arrels enèsimes seran: $$e^{i\frac{\alpha+k360^\circ}{n}}$$ Per a $k = 0$ tindrem la primera arrel, per $k = 1$ la segona, i així successivament fins arribar a l'arrel enèsima, que correspon a $k = n-1$.

Per tant, tindrem $n$ arrels diferents, com era d'esperar.

Vegem un exemple concret, anem a trobar les arrels enèsimes de la unitat, és a dir, del número $1$.

Volem determinar els $z$ tals que $z^n=1$.

$$ 1=1\cdot[\cos(0^\circ)+i \cdot\sin(0^\circ)]=1\cdot e^{i 0^\circ}$$

Llavors, les $n$ arrels de la unitat estan donades per: $$e^{i\frac{0^\circ+360^\circ k}{n}}= e^{i\frac{360^\circ k}{n}}$$

amb $k = 0, \ 1, \ 2,\ \dots \ , \ (n - 1)$.

Llavors seran: $$\displaystyle \begin{array}{ll} k=0 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^0 = 1 \\ k=1 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{360^\circ}{n}} \\ k=2 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{n}} \\ \vdots & \vdots \\ k=n-1 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{(n-1)\cdot360^\circ}{n}} \end{array} $$

En particular, per exemple, si $n = 3$ llavors les arrels són:

$$k=0 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^0 = 1 $$

$$k=1 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{360^\circ}{3}}= e^{i120^\circ} $$

$$k=2 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{3}} =e^{i240^\circ} $$

Si preferim expressar en forma trigonomètrica estesa, només cal fer:

$$k=0 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^0 = 1\cdot[\cos(0^\circ)+i \cdot\sin(0^\circ)] $$

$$k=1 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{360^\circ}{3}}= e^{i120^\circ}= 1\cdot[\cos(120^\circ)+i \cdot\sin(120^\circ)] $$

$$k=2 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{3}} =e^{i240^\circ}=1\cdot[\cos(240^\circ)+i \cdot\sin(240^\circ)] $$