Raíces enésimas

La forma trigonométrica se puede expresar de forma exponencial, es decir, cualquier número complejo $z$ tiene una representación del tipo: $$ |z|\cdot e^{i\alpha}$$ donde $|z|$ es su módulo y $\alpha$ su argumento.

Si tenemos los números complejos de esta forma trigonométrica es muy fácil calcular las raíces enésimas, puesto que tenemos

$$\sqrt[n]{|z|\cdot e^{i\alpha}}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \sqrt[n]{e^{i\alpha}}= \sqrt[n]{|z|}\cdot e^{i\frac{\alpha+k360^\circ}{n}}$$

debido a las propiedades de las raíces y potencias con exponente racional.

En el caso particular de todos aquellos números complejos cuyo módulo es $1$ (vienen representados pues por $e^{i\alpha}$ donde el ángulo $\alpha$ es el argumento de dicho número complejo), entonces las raíces enésimas serán: $$e^{i\frac{\alpha+k360^\circ}{n}}$$ Para $k = 0$ tendremos la primera raíz, para $k = 1$ la segunda, y así sucesivamente hasta llegar a la raíz enésima, que corresponde a $k = n-1$.

Por lo tanto, tendremos $n$ raíces distintas, como era de esperar.

Veamos un ejemplo concreto, vamos a encontrar las raíces enésimas de la unidad, es decir del número $1$.

Deseamos determinar los valores $z$ tales que $z^n=1$.

$$ 1=1\cdot[\cos(0^\circ)+i \cdot\sin(0^\circ)]=1\cdot e^{i 0^\circ}$$

Entonces las $n$ raíces de la unidad están dadas por: $$e^{i\frac{0^\circ+360^\circ k}{n}}= e^{i\frac{360^\circ k}{n}}$$

con $k = 0, \ 1, \ 2,\ \dots \ , \ (n - 1)$.

Entonces serán: $$\displaystyle \begin{array}{ll} k=0 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^0 = 1 \\ k=1 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{360^\circ}{n}} \\ k=2 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{n}} \\ \vdots & \vdots \\ k=n-1 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{(n-1)\cdot360^\circ}{n}} \end{array} $$

En particular, por ejemplo, si $n = 3$ entonces las raíces son:

$$k=0 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^0 = 1 $$

$$k=1 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{360^\circ}{3}}= e^{i120^\circ} $$

$$k=2 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{3}} =e^{i240^\circ} $$

Si preferimos expresarlo en forma trigonométrica extendida sólo hace falta hacer:

$$k=0 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^0 = 1\cdot[\cos(0^\circ)+i \cdot\sin(0^\circ)] $$

$$k=1 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{360^\circ}{3}}= e^{i120^\circ}= 1\cdot[\cos(120^\circ)+i \cdot\sin(120^\circ)] $$

$$k=2 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{3}} =e^{i240^\circ}=1\cdot[\cos(240^\circ)+i \cdot\sin(240^\circ)] $$