Translacions

Definim una translació como una isometria del pla euclidià caracteritzada per un vector $\vec{u}$, tal que a cada punt $A$ del pla li fa correspondre $A'$ complint el següent:

$$\begin{array}{rcl} T: E & \rightarrow & E \\ A & \rightarrow & A'=T(A)=A+\vec{u} \end{array}$$

o el que és el mateix, que el seu sistema d'equacions associat és de la forma:

$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $$

Per la correspondència entre punts, podem entendre les translacions com moviments directes sense canvis d'orientació, és a dir, mantenen la forma i la mida de les figures o objectes traslladats, les quals llisquen segons el vector. Atès el caràcter d'isometria per qualsevol punts $A$ i $B$ es compleix la següent identitat entre distàncies:

$$d (A, B) = d (T (A), T (B)) = d (A ', B')$$

dit d'una altra manera: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}$.

Observeu que la inversa d'una translació és $(T_u)^{-1}=T_{-u}$, és a dir, que és fer la translació del vector oposat.

Per acabar, mostrarem com s'ha de procedir per calcular les translacions de les següents figures:

• Translació d'un segment: Per calcular el transformat d'un segment, només cal calcular els transformats dels extrems i unir-los.
• Translació d'una recta: Calculem els transformats de dos dels punts de la recta i després els unim per obtenir la transformada de la recta.
• Translació d'angles: Un angle ve donat per la intersecció de dues rectes en un determinat punt, per tant, per calcular el transformat de l'angle n'hi haurà prou amb calcular les transformacions de les rectes i així obtindrem la transformació de l'angle.

A partir d'aquestes tres transformacions bàsiques, es poden calcular els traslladats de qualsevol figura ja que en el pla qualsevol objecte es redueix a composició dels tres elements anteriorment descrits.

Donat el vector $u = (1,3)$, calcularem la translació per aquest vector dels dos vectors bàsics del pla, és a dir, del vector $i = (1,0)$ i $j = (0,1)$. Llavors, per calcular el transformat de $i$ i $j$ utilitzarem el sistema d'equacions associat a la translació. Aquest sistema, té per equacions:

$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x'_1=x_1 +1 \\ x'_2=x_ 2+3 \end{array} \right. $$

Per tant, a la vista del sistema d'equacions, el transformat del vector $i$, $i'= (1 + 1,3) = (2,3)$ i l'altre vector bàsic $j' = (1,1 +3) = (1,4)$. A més, si volem calcular la translació inversa associada al vector $u$, pel resultat vist amb anterioritat, només cal calcular la translació associada al vector $-u$. Per tant, el sistema d'equacions quedarà de la manera següent:

$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} $$