Traslaciones

Definimos una traslación como una isometría del plano euclídeo caracterizada por un vector $\vec{u}$, al que a cada punto $A$ del plano le hace corresponder $A'$ cumpliendo lo siguiente:

$$\begin{array}{rcl} T: E & \rightarrow & E \\ A & \rightarrow & A'=T(A)=A+\vec{u} \end{array}$$

o lo que es lo mismo, que su sistema de ecuaciones asociado es de la forma:

$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $$

Por la correspondencia entre puntos, podemos entender las traslaciones como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos $A$ y $B$ se cumple la siguiente identidad entre distancias:

$$d (A, B) = d (T (A), T (B)) = d (A ', B')$$

o más aún: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}$.

Obsérvese que la inversa de una traslación es $(T_u)^{-1}=T_{-u}$, o sea, que es hacer la traslación del vector opuesto.

Como remarcas finales de la sección de traslaciones, nótese que estas preservan las figuras idénticas y que conservan además la misma posición que las originales (con posición de la figura no nos referimos a las mismas coordenadas dentro del plano).

Para terminar, vamos a dar cómo se debe proceder para calcular los trasladados de las siguientes figuras:

• Traslación de un segmento: Para calcular el transformado de un segmento, basta calcular los transformados de los extremos y unirlos.
• Traslación de una recta: Calculamos los transformados de dos de los puntos de la recta y luego los unimos para obtener la transformada de la recta.
• Traslación de ángulos: Un ángulo viene dado por la intersección de dos rectas en un determinado punto, por consiguiente, para calcular el transformado del ángulo bastará con calcular las transformaciones de las rectas y así obtendremos la transformación del ángulo

A partir de estas tres transformaciones básicas, se podrá calcular los trasladados de cualquier figura dado que en el plano cualquier objeto se reduce a composición de los tres elementos anteriormente descritos.

Dado el vector $u = (1,3)$, calcularemos la traslación por este vector de los dos vectores básicos del plano, es decir, del vector $i = (1,0)$ y $j = (0,1)$. Entonces, para calcular el transformado de $i$ y $j$ vamos a usar el sistema de ecuaciones asociado a la traslación. Dicho sistema, tiene por ecuaciones:

$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x'_1=x_1 +1 \\ x'_2=x_ 2+3 \end{array} \right. $$

Por lo tanto, a la vista del sistema de ecuaciones, el transformado del vector $i$, $i'= (1 + 1,3) = (2,3)$ y el otro vector básico $j' = (1,1 +3) = (1,4)$. Además, si queremos calcular la traslación inversa asociada al vector $u$, por el resultado visto con anterioridad, basta con calcular la traslación asociada al vector $-u$. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones quedará de la forma siguiente:

$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} $$