Transformacions geomètriques

Col·loquialment, les transformacions geomètriques són les operacions geomètriques que permeten crear una nova figura a partir d'una prèviament donada. A aquesta nova figura se l'anomena l'homòloga de l'original. Podem classificar aquestes transformacions en dos grans grups:

• Directa: si la homòloga conserva l'orientació de l'original.

• Inversa: si la homòloga té el sentit contrari a l'original.

També podem classificar les transformacions geomètriques segons la forma de l'homòleg respecte a l'original. En aquest cas, tenim tres grans grups:

• Isomètriques: l'homòleg conserva les distàncies i els angles. A aquest grup, també se l'anomena moviments en el pla.

• Isomòrfiques: l'homòleg conserva la forma i els angles. Per tant, hi ha proporcionalitat entre els costats del homòleg i el de l'original.

• Anamòrfiques: canvia la forma de la figura original. En aquest tema, aquestes transformacions no es tractaran.

Formalment, les transformacions geomètriques són les aplicacions lineals $\varphi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Sigui $(e_1,e_2)$ una base ortonormal (és a dir, ortogonal de mòdul $1$) de $\mathbb{r}^2$. Com que les transformacions geomètriques són aplicacions lineals, aleshores les podem representar mitjançant un sistema bidimensional d'equacions lineals. És a dir, sigui $\vec{x}=(x_1,x_2)$ un vector qualsevol de $E$ i sigui $\vec{x'}=(x'_1,x'_2)$ el vector transformat per mitjà de la transformació geomètrica. Llavors, aquests dos vectors compleixen la següent equació:

$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} $$

on la matriu $A= \begin{pmatrix} a& b \\ c & d \end{pmatrix}$ és la matriu que representa com canvien els vectors de la base respecte de la transformació.

És a dir, a la primera columna hi ha les noves components del primer vector de la base i a la segona les components del segon vector bàsic. A més, el vector $\vec{b}=(b_1,b_2)^{T}$ ens diu com canvia l'origen de coordenades mitjançant la transformació.

Per tant, gràcies a aquesta formulació algebraica de les transformacions geomètriques, podem reformular les classificacions anteriors usant només la matriu associada a la transformació. Recordem que, en la primera classificació teníem:

• Transformació directa: Si conserva l'orientació i això succeirà si i només si $\det (A)> 0$.
• Transformació inversa: Si inverteix l'orientació, que això passa si i només si $\det (A) <0$.

Per tant, mitjançant el signe del determinant de la matriu associada a la transformació, podrem saber si aquesta conserva o no la seva orientació.

D'altra banda, la segona classificació que fèiem de les transformacions geomètriques, ens deia que:

• Isomètriques: Conserva els angles i les distàncies. Aquest fet equival a dir que $\det (A) = \pm 1$.
• Isomòrfica: Conserva els angle i la seva forma, hi ha una raó de proporcionalitat entre els costats de l'original i de l'homòleg. Això equival a dir que $det (A) =\pm K \ $ i $ \ K\neq 1$, les distàncies que hi havia a la figura original es veuen multiplicades pel factor $|K|$. Per tant, $K$ és la raó de semblança entre les dues figures.
• Anamòrfiques: No poden ser representades per una matriu ja que no conserven ni els angles ni les proporcions. Per tant, aquest tipus d'aplicacions són no lineals.

Per acabar, donarem un exemple de classificació de transformacions. Donat el sistema: $$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

classifiquem-lo segons les dues classificacions donades. Primer necessitem calcular el determinant de la matriu associada a la transformació. Llavors, $\det(A)=2\cdot2-1\cdot1=3$, amb el que veiem que la transformació és directa, ja que el seu determinant és positiu, i és una transformació isomòrfica, ja que el determinant és $3$. Per tant, les figures a que els apliquem aquesta transformació es veuran multiplicades per una raó de semblança igual a $3$.