Transformaciones geométricas

Coloquialmente, las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. A esta nueva figura se le llama la homóloga de la original. Podemos clasificar dichas transformaciones en dos grandes grupos:

• Directa: si la homóloga conserva la orientación de la original.

• Inversa: si la homóloga tiene el sentido contrario a la original.

También podemos clasificar las transformaciones geométricas según la forma del homólogo respecto al original. En este caso, tenemos tres grandes grupos:

• Isométricas: el homólogo conserva las distancias y los ángulos. A este grupo, también se le llama movimientos en el plano.

• Isomórficas: el homólogo conserva la forma y los ángulos. Por lo tanto, existe proporcionalidad entre los lados del homólogo y el del original.

• Anamórficas: cambia la forma de la figura original. En este tema, estas transformaciones no se van a tratar.

Formalmente, las transformaciones geométricas son las aplicaciones lineales $\varphi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Sea $(e_1,e_2)$ una base ortonormal (ortogonal de módulo $1$) de $\mathbb{r}^2$. Como las transformaciones geométricas son aplicaciones lineales, entonces podemos representarlas mediante un sistema bidimensional de ecuaciones lineales. O sea, sea $\vec{x}=(x_1,x_2)$ un vector cualquiera de $E$ y sea $\vec{x'}=(x'_1,x'_2)$ el vector transformado mediante la transformación geométrica. Entonces, estos dos vectores cumplen la siguiente ecuación:

$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} $$

donde la matriz $A= \begin{pmatrix} a& b \\ c & d \end{pmatrix}$ es la matriz que representa cómo cambian los vectores de la base respecto de la transformación.

O sea, en la primera columna hay las nuevas componentes del primer vector de la base y en la segunda las componentes del segundo vector básico. Además, el vector $\vec{b}=(b_1,b_2)^{T}$ nos dice como cambia el origen de coordenadas mediante la transformación.

Por lo tanto, gracias a esta formulación algebraica de las transformaciones geométricas, podemos reformular las clasificaciones anteriores usando sólo la matriz asociada a la transformación. Recordemos que, en la primera clasificación teníamos que:

• Transformación directa: Si conserva la orientación y esto sucederá si y solo si $\det (A)> 0$.
• Transformación inversa: Si invierte la orientación, que esto sucede si y solo si $\det (A) <0$.

Por lo tanto, mediante el signo del determinante de la matriz asociada a la transformación, podremos saber si esa conserva o no su orientación.

Por otro lado, la segunda clasificación que hacíamos de las transformaciones geométricas, nos decía que:

• Isométricass: Conserva los ángulos y las distancias. Este hecho equivale a decir que $\det (A) = \pm 1$.
• Isomórficas: Conserva los ángulos y su forma, existiendo una razón de proporcionalidad entre los lados del original y del homólogo. Esto equivale a decir que $det (A) =\pm K \ $ y $ \ K\neq 1$, y que las distancias que existían en la figura original se ven multiplicadas por el factor $|K|$. Por lo tanto, $K$ es la razón de semejanza entre las dos figuras.
• Anamórficas: No pueden ser representadas por una matriz dado que no conservan ni los ángulos no las proporciones. Por lo tanto, este tipo de aplicaciones no son lineales.

Para terminar, vamos a dar un ejemplo de clasificación de transformaciones. Dado el sistema $$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

vamos a clasificarlo en las dos clasificaciones dadas con anterioridad. Primero necesitamos calcular el determinante de la matriz asociada a la transformación. Entonces, $\det(A)=2\cdot2-1\cdot1=3$, a con lo que vemos que la transformación es directa, dado que su determinante es positivo, y es una transformación isomórfica, dado que el determinante es $3$. Por lo tanto, las figuras que les aplicamos esta transformación se verán multiplicadas por una razón de semejanza igual a $3$.