Girs
Un gir en el pla de centre $O$ i angle $\alpha$ és un moviment directe que a un punt $P$ li fa correspondre un altre punt $P'$ de manera que:
$$\overline{PO}=\overline{P'O'} \quad \text{ i } \quad \widehat{POP'}=\alpha$$
La funció gir es denota per $g(O, \alpha)$. A l'angle $\alpha$ se'l coneix també pel nom d'argument. Com el gir és una transformació directa i isomètrica, li podem associar un sistema bidimensional d'equacions:
$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $$
on la matriu:
$$A=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$$
és la matriu de gir i ens diu com es desplacen els elements del pla mitjançant la transformació. Noteu, a més, que gràcies al fet que la matriu de gir del sistema està composta per sinus i cosinus, la transformació gir és periòdica de raó $360^\circ$.
Com ja hem dit anteriorment, el gir és una transformació directa i isomètrica, donat que el seu determinant és $1$, la qual cosa ens diu que compleix la següent igualtat:
$$d (P, Q) = d (g (P), g (Q)) = d (P ', Q')$$
on $g$ és la funció gir amb un angle $\alpha$ arbitrari.
Finalment, observeu que la inversa del gir és un mateix gir però amb l'angle de gir oposat, és a dir, que el seu argument és $-\alpha$.
Per finalitzar, explicarem com es procedeix a l'hora de calcular la transformada dels tres objectes més elementals que hi ha al pla, com ja hem fet en el cas de les translacions.
- Gir de segments: Per calcular el gir d'un segment, només cal calcular els transformats dels extrems i unir-los per obtenir el segment transformat.
- Gir de rectes: N'hi ha prou amb calcular el transformat de dos punts de la recta i unir-los per obtenir la transformació de la recta.
- Gir d'angle: Com un angle ve donat per la intersecció de dos costats, només cal aplicar el gir a cada un dels seus costats per obtenir l'angle transformat.
Es vol calcular el gir de centre $O$ i angle $\alpha= 60^\circ$ del vector $x = (2,2)$.
Mitjançant la formulació amb matrius, ens n'adonem que primer hem de calcular quant val la matriu de gir.
$$A=\begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & -\sin(\frac{\pi}{3}) \\ \sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
Noteu que en radiants $60^\circ$ és $\dfrac{\pi}{3}$.
Per tant, el transformat és:
$$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\sqrt{3} \\ 1+\sqrt{3} \end{pmatrix} $$