Giros
Un giro en el plano de centro $O$ y ángulo $\alpha$ es un movimiento directo que a un punto $P$ le hace corresponder otro punto $P'$ de forma que:
$$\overline{PO}=\overline{P'O'} \quad \text{ y } \quad \widehat{POP'}=\alpha$$
A la función giro se la representa por $g(O, \alpha)$. Al ángulo $\alpha$ se le conoce también por el nombre de argumento. Como el giro es una transformación directa e isométrica, podemos asociarle un sistema bidimensional de ecuaciones:
$$\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $$
dónde la matriz:
$$A=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$$
es la matriz de giro y nos dice como se desplazan los elementos del plano mediante la transformación. Nótese, además, que gracias al hecho de que la matriz de giro del sistema está compuesta por senos y cosenos, la transformación giro es periódica de razón $360^\circ$.
Como ya hemos dicho anteriormente, el giro es una transformación directa e isométrica, dado que su determinante es $1$, lo cual nos dice que cumple la siguiente igualdad:
$$d (P, Q) = d (g (P), g (Q)) = d (P ', Q')$$
siendo $g$ la función giro con un ángulo $\alpha$ arbitrario.
Finalmente, obsérvese que la inversa del giro es un mismo giro pero con el ángulo de giro opuesto, es decir, que su argumento es $-\alpha$.
Para finalizar, explicaremos como se procede a la hora de calcular la transformada de los tres objetos más elementales que hay en el plano, como ya hemos hecho en el caso de las traslaciones.
- Giro de segmentos:Para calcular el giro de un segmento, basta con calcular los transformados de los extremos y unirlos para obtener el segmento transformado.
- Giro de rectas: Basta con calcular el transformado de dos puntos de la recta y unirlos para obtener la transformación de la recta.
- Giro de ángulos: Como un ángulo viene dado por la intersección de dos lados, basta con aplicar el giro a cada uno de sus lados para obtener el ángulo transformado.
Se quiere calcular el giro de centro $O$ y ángulo $\alpha= 60^\circ$ del vector $x = (2,2)$.
Mediante la formulación con matrices, nos damos cuenta de que primero tenemos que calcular cuánto vale la matriz de giro.
$$A=\begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & -\sin(\frac{\pi}{3}) \\ \sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
Nótese que en radianes $60^\circ$ es $\dfrac{\pi}{3}$.
Por lo tanto, el transformado es:
$$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\sqrt{3} \\ 1+\sqrt{3} \end{pmatrix} $$