Rang d'una matriu mitjançant determinants
El rang d'una matriu es pot trobar també fent ús del càlcul de determinants. Podem definir rang, novament, a partir del que ara interessa.
El rang d'una matriu és el màxim ordre dels menors no nuls de la matriu.
Vegeu el següent exemple per solucionar els dubtes:
$$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -7 & 0 \\ 3 & -2 & 1 & 17 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & 0 \end{array} \right)$$
- Donada la matriu $A$ es descarten files o columnes segons els criteris utilitzats anteriorment. Així doncs,
La columna $5$ es pot descartar per tenir nuls tots els seus elements.
La columna $3$ es pot descartar per ser combinació lineal de la columna $1$ i la columna $2$. Concretament, $c3=c1+c2$.
$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right)$$
- Hi ha algun menor d'ordre $1$ no nul?
Qualsevol element no nul és una submatriu quadrada de determinant no nul, per tant es miren ordres superiors.
- Hi ha algun menor d'ordre $2$ no nul?
$$\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right| = 1 \neq 0$$
Sí que n'hi ha, per tant es miren ordres superiors.
- Hi ha algun menor d'ordre $3$ no nul?
$$\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \end{array} \right| = 0$$
$$\left| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \end{array} \right| = 0$$
$$\left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right| = 0$$
No n'hi ha, per tant $rang(A)=2$, que és l'ordre de la major submatriu quadrada de determinant no nul.