Rango de una matriz mediante determinantes
El rango de una matriz puede encontrarse haciendo uso del cálculo de determinantes. Podemos definir rango a partir de lo que ahora interesa.
El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.
Véase el siguiente ejemplo para solucionar las dudas.
$$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -7 & 0 \\ 3 & -2 & 1 & 17 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & 0 \end{array} \right)$$
- Dada la matriz $A$ se descartan filas o columnas según los criterios utilizados para el cálculo del rango mediante el método de Gauss. Así pues,
La columna $5$ puede descartarse por ser nulos todos sus elementos.
La columna $3$ puede descartarse por ser combinación lineal de la columna $1$ y la columna $2$. Concretamente, $c3=c1+c2$.
$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right)$$
- Hay alguna submatriz cuadrada de orden $1$ no nula?
Cualquier elemento no nulo es una submatriz cuadrada no nula, por lo tanto se miran órdenes superiores.
- Hay alguna submatriz cuadrada de orden $2$ no nula?
$$\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right| = 1 \neq 0$$
Sí que la hay, por lo tanto se miran órdenes superiores.
- Hay alguna submatriz cuadrada de orden $3$ no nula?
$$\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \end{array} \right| = 0$$
$$\left| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \end{array} \right| = 0$$
$$\left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right| = 0$$
No la hay, por lo tanto $rang(A)=2$, que es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.