Matriu inversa: Mètode de Gauss
El càlcul de la matriu inversa és una eina indispensable de l'àlgebra lineal.
Donada una matriu $A$, la seva inversa $A^{-1}$ és tal que compleix el següent:
$$A\cdot A^{-1}=I$$
on $I$ és la matriu identitat, amb tots els seus elements nuls llevat dels de la diagonal principal, que són $1$.
Sigui la matriu:
$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$
Com es troba la matriu inversa segons el mètode de Gauss?
- S'afegeix la matriu identitat a la matriu $A$.
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
Vegis
$$I=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
- Mitjançant el mètode de Gauss es pretén passar la matriu identitat a l'esquerra. El que quedi al costat dret serà la matriu inversa. És a dir, es vol aconseguir
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ }\\ 0 & 1 & 0 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ }\\ 0 & 0 & 1 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \end{array} \right)$$
El que resulti als espais buits serà la matriu inversa $A^{-1}$.
Quina és la matriu inversa de la següent matriu?
$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$
S'ha de seguir el procediment pas a pas.
- En primer lloc s'afegeix la matriu identitat a la dreta de la matriu originària:
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
- S'ha de "transportar" la matriu identitat a l'esquerra mitjançant el mètode de Gauss.
Aquest mètode requereix certa intuïció, perquè no és una recepta exacta. De tota manera la intuïció es pot suplir amb la pràctica i el mètode de Gauss acaba resultant molt més còmode del que sembla en un principi.
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila2-fila1)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila3+fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila2-fila3)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila1+fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
Finalment es multiplica la $fila2$ per $(-1)$ i ja tenim la identitat a l'esquerra.
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow ((-1)\cdot fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
I s'identifica:
$$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
Comprovació:
Es recomana fer la comprovació després del càlcul, ja que els errors solen ser freqüents. Per a tal efecte s'utilitza la pròpia definició de matriu inversa:
$$A\cdot A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
Efectivament es demostra:
$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$