Matriz inversa: Método de Gauss
El cálculo de la matriz inversa es una herramienta indispensable del álgebra lineal.
Dada una matriz $A$, su inversa $A^{-1}$ es tal que cumple lo siguiente:
$$A\cdot A^{-1}=I$$
donde $I$ es la matriz identidad, con todos sus elementos nulos excepto $1$ en la diagonal principal.
Sea la matriz:
$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$
Como se encuentra la matriz inversa según el método de Gauss?
- Se añade la matriz identidad a la matriz $A$.
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
Véase
$$I=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
- Mediante el método de Gauss se pretende pasar la matriz identidad a la izquierda. Lo que quede en el lado derecho será la matriz inversa. Es decir, se quiere conseguir
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ }\\ 0 & 1 & 0 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ }\\ 0 & 0 & 1 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \end{array} \right)$$
Lo que resulte en los espacios vacíos será la matriz inversa $A^{-1}$.
¿Cual es la matriz inversa de la siguiente matriz?
$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$
Se debe seguir el procedimiento paso a paso.
- En primer lugar se añade la matriz identidad a la derecha de la matriz originaria:
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
- Se tiene que "transportar" la matriz identidad a la izquierda mediante el método de Gauss.
Este método requiere cierta intuición, pues no es una receta exacta. De todas formas la intuición puede suplirse con la práctica y el método de Gauss acaba resultando mucho más cómodo de lo que parece en un principio.
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila2-fila1)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila3+fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila2-fila3)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila1+fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
Finalmente se multiplica la $fila2$ por $(-1)$ y ya tenemos la identidad a la izquierda.
$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow ((-1)\cdot fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
Y se identifica:
$$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
Comprobación:
Se recomienda hacer la comprobación después del cálculo, pues los errores suelen ser frecuentes. Para tal efecto se utiliza la propia definición de matriz inversa:
$$A\cdot A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
Efectivamente se demuestra:
$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$