Interès compost

Comencem amb aquest exemple:

Un usuari diposita $3.000$ € en un compte d'estalvi amb un interès del $6\%$ anual però en lloc de retirar els interessos els manté en el dipòsit, de manera que passen a engrossir la quantitat invertida i generen així nous interessos.

Quants diners hi haurà en el compte al cap de $5$ anys?

Si el període de liquidació és anual, és a dir el banc ingressa els interessos en el compte en finalitzar l'any, una opció és calcular l'interès simple aconseguit cada any i anar-lo acumulant al total.

Es denominarà $I_1$ l'interès generat en el primer any:

$$I_1=C\cdot r \cdot t=3.000\cdot 0,06\cdot 1=180€$$

Si aquests $180$ € d'interessos aconseguits en el primer any se sumen als $3.000$ € inicials, a l'inici del segon any hi haurà $3.180$ € en el compte, que serà la quantitat inicial per calcular l'interès simple d'aquest període:

$$I_2=3.180\cdot 0,06\cdot 1=190,8€$$

Amb el que al final del segon any s'hauran acumulat $3.180+190,8 = 3.370,8$ €, que serà el capital inicial del tercer any:

$$I_3=3.370,8\cdot 0,06\cdot 1=202,25€$$

Capital acumulat $=3370,8+202,25=3573,05€$

L'interès en el quart any serà:

$$I_4=3.573,05\cdot 0,06\cdot 1=214,38€$$

Capital acumulat $=3573,05+214,38=3787,43€$

I, finalment, al final dels cinc anys el total del compte ascendirà a:

$$I_5=3.787,43\cdot 0,06\cdot 1=227,25€$$

Total acumulat $=3787,43+227,25=4014,68$€

Una manera molt més ràpida de realitzar aquests càlculs és mitjançant la relació que defineix l'interès compost:

$$C_f=C\cdot (1+r)^t$$

on $C_f$ és el capital final, $C$ és el capital inicial, $r$ el rèdit (el tant per u de l'interès), i $t$ és el temps.

En aplicar la relació a l'exemple s'obté:

$$C_f=3.000\cdot (1+0,06)^5=3.000\cdot (1,06)^5=3.000\cdot 1,3382=4.014,6€$$

En aquest cas, aplicar la relació ha estat immediat perquè el rèdit i el temps coincideixen en que tots dos són anuals. No obstant això, aquest cas no sol ser el més freqüent.

Els bancs i les caixes d'estalvi manegen períodes de liquidació molt diversos: mensuals, trimestrals, semestrals, anuals, etc. I és clar, no és el mateix que els interessos engrosseixin el total invertit al mes següent que al cap d'un any. De manera que per a que la fórmula de l'interès compost sigui certa cal expressar el rèdit i el temps en funció del període de liquidació que utilitzi el banc.

Per exemple:

Un client ingressa $10.000$ € en un compte amb un interès anual del $4,50\%$. Si els interessos es van acumulant en el compte cada trimestre, quina quantitat de diners hi haurà al cap de $5$ anys? Quin haurà estat l'interès generat en aquest període?

El primer que cal fer és adonar-se que el període de liquidació és trimestral i que, per tant, el rèdit i el temps hauran d'expressar-se segons aquesta dada, és a dir, caldrà esbrinar el rèdit trimestral i el nombre de trimestres que hi ha en $5$ anys.

Per trobar el rèdit trimestral, que es denominarà $r(t)$, es pren l'expressió entre parèntesis de la fórmula de l'interès compost i s'ha de complir que:

$$(1+r_t)^4=(1+r)^1$$

És a dir, el rèdit de quatre trimestres és igual al rèdit d'un any, ja que $1$ any té $4$ trimestres.

Sabent per l'enunciat que $r = 0,045$, només cal aïllar $r(t)$ per a conèixer aquesta dada. Per això primer cal passar l'exponent a l'altra banda de la igualtat:

$$ 1 + r_t =(1+r)^{\frac{1}{4}} \Rightarrow r_t=(1+r)^{\frac{1}{4}} -1$$

Es calcula el rèdit trimestral amb les dades que es tenen:

$$ r_t=(1+0,045)^{\frac{1}{4}} -1 = (1,045)^{\frac{1}{4}} -1=1,011-1=0,011$$

Ara només queda calcular quants períodes de liquidació trimestrals hi ha en $5$ anys:

Si $1$ any té $4$ trimestres, $5$ anys tindran:

$$4\cdot 5=20 \ \mbox{trimestres}$$

Amb les dades obtingudes ja es pot aplicar la fórmula de l'interès compost per calcular els diners acumulats al final del període:

$$C_f=C \cdot (1+r_t)^t$$

$$C_f=10.000 \cdot (1+0,011)^20=10.000\cdot (1,011)^20=$$ $$=10.000\cdot 1,245 = 12.450€$$

Amb el que acabem de resoldre la primera pregunta de l'exercici. Per trobar la segona n'hi ha prou amb restar la quantitat final i la inicial, ja que la diferència entre ambdues seran els interessos aconseguits:

$$12.450-10.000=2.450€$$

Cal remarcar la importància de calcular el rèdit segons el període de liquidació de la manera en que s'ha realitzat a l'exercici per no emportar-nos sorpreses.

Per exemple, si un banc ofereix un dipòsit al $12\%$ anual amb un període de liquidació semestral es podria pensar que el rèdit semestral serà:

$$\mbox{Si} \ r_a=0,12 \Rightarrow r_s=\dfrac{0,12}{2}=0,06$$

Com que en un any hi ha $2$ períodes de liquidació semestrals, sembla lògic pensar que si l'interès anual és del $12\%$, el semestral serà del $6\%$, però en realitat no és del tot així.

Per demostrar-ho només cal calcular el rèdit semestral tal com s'ha mostrat en l'exercici anterior:

$$(1+r_s)^2=(1+r)^1 \Rightarrow 1+r_s=(1+r)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow r_s=(1+r)^{\frac{1}{2}} -1$$

$$r_s=(1+0,12)^{\frac{1}{2}} -1 = (1,12)^{\frac{1}{2}} - 1=1,0583-1=0,0583$$

És a dir, l'interès semestral no és del $6\%$ com es podria pensar sinó que és del $5,83\%$.

Un últim exemple:

Una caixa d'estalvis va concedir un préstec de $120.000$ € a una empresa. Al cap dels $8$ anys acordats, la caixa va rebre un total de $20.599,13$ € en concepte d'interessos, que es cobraven anualment. Quin era l'interès d'aquest préstec?

Es tracta d' aïllar el rèdit de la relació de l'interès compost i passar-lo a percentatge:

$$ C_f=C(1+r)^t \Rightarrow \dfrac{C_f}{C}=(1+r)^t \Rightarrow \Big( \dfrac{C_f}{C}\Big)^{\frac{1}{t}}=1+r \Rightarrow$$

$$\Rightarrow r=\Big( \dfrac{C_f}{C}\Big)^{\frac{1}{t}} -1$$

La quantitat final serà la inicial més els interessos generats:

$$C_f=120.000+20.599,13=140.599,13$$

Ara es pot calcular el rèdit amb la resta de dades de l'enunciat:

$$r=\Big( \dfrac{140.599,13}{120.000} \Big) ^{\frac{1}{8}} -1 = 1,172^{\frac{1}{8}} -1 = 1,02-1=0,02$$

De manera que l'interès del préstec era del $2\%$.