Definició i propietats de logaritmes

Com ens mostren les potències $5^3=125$, però què passa en cas que allò desconegut sigui l'exponent? $5^x=125$

En l'exemple anterior només cal multiplicar $5$ vegades fins a obtenir $125$. $5\cdot5\cdot5=125$

Al multiplicar $3$ vegades $5$ s'obté $125$, així que el valor de l'exponent és $3$.

En el següent exemple:

$$3^x=2187$$

$$3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot=2.187$$

De manera que l'exponent al qual cal elevar $3$ per obtenir $2.187$ és $7$.

Hi ha una manera més pràctica d'esbrinar els exponents sense necessitat d'anar fent multiplicacions fins a trobar la xifra buscada: els logaritmes.

En el primer exemple $5^3=125$, si s'aplica un logaritme, s'obté la següent expressió: $$log_5 125=3$$ on $5$ és la base del logaritme (igual que ho era en la potència), i l'expressió es llegeix logaritme en base $5$ de $125$.

Si s'apliquen logaritmes al segon exemple: $$log_3 2.187=7$$

És a dir, logaritme en base $3$ de $2.187$.

Tenint en compte que l'expressió general d'una potència és $$a^n=x$$ l'esquema general d'un logaritme és $$log_a x=n$$

Aquesta expressió permet calcular el nombre $n$ al qual cal elevar un altre número $a$ per obtenir $x$.

Només es pot calcular el logaritme d'un nombre positiu $> 0$ i la seva base ha de ser $> 0$ i diferent a $1$.

$$log_3 0$$

No es pot expressar $0$ com una potència de $3$. De fet, no hi ha cap nombre que multiplicat per si mateix doni $0$, per la qual cosa es conclou que no es pot calcular.

$$log_1 20$$

No hi ha manera d'expressar $20$ com una potència de base $1$ perquè $1^n=1$

Elevar $1$ a una potència no té gaire sentit, de manera que tampoc ho té calcular el logaritme en base $1$. Es pot deduir, per tant, que la base d'un logaritme ha de ser un nombre més gran que $1$.

Però, si només es pot calcular el logaritme d'un nombre $> 0$, existeix el logaritme d'$1$?

$$log_2 1$$

Si s'expressa $1$ com a potència de base $2$ es té:

$log_2 1=log_2 2^0$ ja que $2^0=1$

Per aquest motiu $log_2 1=log_2 2^0=0$

L'exemple permet deduir que, en l'expressió general d'un logaritme $log_a x=n$, quan $x=1$, el valor del logaritme, sigui quina sigui la seva base, sempre és $0$, ja que l'únic exponent al qual es pot elevar un nombre per obtenir $1$ és $0$. Dit d'una altra manera, ja que:

$a^0=1$ llavors $log_a 1=0$.

Calcular logaritmes senzills pot ser immediat si s'expressa el valor de $x$ com una potència de base igual a la del logaritme.

Seguint amb l'exemple inicial: $$log_5 125=log_5 5^3=3$$ De manera que $3$ és el número al qual cal elevar $5$ per obtenir $125$.

Més casos: $$log_2 4=log_2 2^2=2$$ De manera que $2$ és el número al qual cal elevar $2$ per obtenir $4$.

$$log_{10} 1.000=log_{10} 10^3=3$$

Pel que $3$ és el número al qual cal elevar $10$ per obtenir $1.000$.

Aquests exemples introdueixen una de les propietats dels logaritmes, que consisteix en $$log_a x^y = y \cdot log_a x$$

Però el logaritme en base $a$ d'un nombre $a$ és sempre $1$. Per exemple:

$$log_2 2=1$$ perquè el número al qual cal elevar $2$ per obtenir $2$ només pot ser $1$.

De manera que $$log_a a^n=n\cdot 1=n$$

Finalment cal recordar que, en estar relacionats amb les potències, els logaritmes també ho estan amb les arrels, ja que:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}=x$$

Pel que, en aquest cas:

$log_a x=\dfrac{1}{n}$