Definición y propiedades de logaritmos

Como nos muestran las potencias $5^3=125$, pero ¿qué pasa en caso que lo desconocido sea el exponente? $5^x=125$

En el ejemplo anterior basta con multiplicar $5$ las veces necesarias hasta obtener $125$. $5\cdot5\cdot5=125$

Al multiplicar $3$ veces $5$ se consigue $125$, así que el valor del exponente es $3$.

En el siguiente ejemplo:

$$3^x=2187$$

$$3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot=2.187$$

De modo que el exponente al que hay que elevar $3$ para obtener $2.187$ es $7$.

Hay un modo más práctico de averiguar los exponentes sin necesidad de ir haciendo multiplicaciones hasta dar con la cifra buscada: los logaritmos.

En el primer ejemplo $5^3=125$, si se aplica un logaritmo, se obtiene la siguiente expresión: $$log_5 125=3$$ donde $5$ es la base del logaritmo (al igual que lo era en la potencia), y la expresión se lee logaritmo en base $5$ de $125$.

Si se aplican logaritmos al segundo ejemplo: $$log_3 2.187=7$$

Es decir, logaritmo en base $3$ de $2.187$.

Teniendo en cuenta que la expresión general de una potencia es $$a^n=x$$ el esquema general de un logaritmo es $$log_a x=n$$

Esta expresión permite calcular el número $n$ al que hay que elevar otro número $a$ para obtener $x$.

Sólo se puede calcular el logaritmo de un número positivo $> 0$ y su base debe ser $> 0$ y distinta de $1$.

$$log_3 0$$

No se puede expresar $0$ como una potencia de $3$. De hecho, no hay ningún número que multiplicado por sí mismo dé $0$, por lo que se concluye que no se puede calcular.

$$log_1 20$$

No hay manera de expresar $20$ como una potencia de base $1$ porque $1^n=1$

Elevar $1$ a una potencia no tiene mucho sentido, por lo que tampoco lo tiene calcular el logaritmo en base $1$. Se puede deducir, por tanto, que la base de un logaritmo tiene que ser un número mayor que $1$.

Pero, si sólo se puede calcular el logaritmo de un número $> 0$, ¿existe el logaritmo de $1$?

$$log_2 1$$

Si se expresa $1$ como potencia de base $2$ se tiene que:

$log_2 1=log_2 2^0$ puesto que $2^0=1$

Por este motivo $log_2 1=log_2 2^0=0$

El ejemplo permite deducir que, en la expresión general de un logaritmo $log_a x=n$, cuando $x=1$, el valor del logaritmo, sea cual sea su base, siempre es $0$, puesto que el único exponente al que se puede elevar un número para obtener $1$ es $0$. Dicho de otra forma, puesto que:

$a^0=1$ entonces $log_a 1=0$.

Calcular logaritmos sencillos puede ser inmediato si se expresa el valor de $x$ como una potencia de base igual a la del logaritmo.

Siguiendo con el ejemplo inicial: $$log_5 125=log_5 5^3=3$$ De modo que $3$ es el número al que hay que elevar $5$ para obtener $125$.

Más casos: $$log_2 4=log_2 2^2=2$$ De manera que $2$ es el número al que hay que elevar $2$ para obtener $4$.

$$log_{10} 1.000=log_{10} 10^3=3$$

Por lo que $3$ es el número al que hay que elevar $10$ para obtener $1.000$.

Estos ejemplos introducen una de las propiedades de los logaritmos, que consiste en $$log_a x^y = y \cdot log_a x$$

Pero el logaritmo en base $a$ de un número $a$ es siempre $1$. Por ejemplo:

$$log_2 2=1$$ porque el número al que hay que elevar $2$ para obtener $2$ sólo puede ser $1$.

De modo que $$log_a a^n=n\cdot 1=n$$

Finalmente hay que recordar que, al estar relacionados con las potencias, los logaritmos también lo están con las raíces, puesto que:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}=x$$

Por lo que, en este caso:

$log_a x=\dfrac{1}{n}$