Interpolació inversa

Suposem coneguts $(x_k,f_k)$ les dades corresponents a una funció $f(x)$ i volem trobar una aproximació del valor de $x$ tal que $f(x)=c$, on $c$ és un valor donat.

El que farem és resoldre l'equació $x=g(c)$ on $g$ és la funció inversa de $f$. Llavors, interpolarem aquesta funció $g(y)$ i l'avaluarem a $y=c$, és a dir, si seguim el mètode de Newton posarem a la primera fila els valors $f_j$ i en la segona els valors $x_j$ i procedirem de la mateixa manera.

Per exemple, suposem que volem calcular un zero de la funció $f(x)=x^3-15x+4$ sabent que aquest està a prop de $x=0.3$. Llavors farem interpolació quadràtica, per exemple, de la inversa de $f(x)$. Primer, doncs, avaluem la funció en tres punts prop de $x=0.3$:

Ara escrivim la taula per calcular les diferències dividides de Newton, però intercanviant les columnes, obtenint els coeficients del polinomi interpolador:

D'aquesta forma el polinomi interpolació és:

$$\begin{array}{rl} P_3(y)=&0.2+0.0675\cdot(y-1.008)+0.00028963\cdot(y-1.008)(y-0.473) \\ =&0.2679019090-0.067654y+0.00028963y^2 \end{array}$$

Així una aproximació del zero de la funció és:

$$P_3(0)=0.2679019090$$