Interpolación inversa

Supongamos conocidos $(x_k,f_k)$ los datos correspondientes a una función $f(x)$ y queremos encontrar una aproximación del valor de $x$ tal que $f(x)=c$, donde $c$ es un valor dado.

Lo que haremos es resolver la ecuación $x=g(c)$ donde $g$ es la función inversa de $f$. Entonces interpolaremos esta función $g(y)$ y la evaluaremos en $y=c$, es decir, si seguimos el método de Newton pondremos en la primera fila los valores $f_j$ y en la segunda los valores $x_j$ y procedemos de la misma manera.

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular un cero de la función $f(x)=x^3-15x+4$ sabiendo que éste está cerca de $x=0.3$. Entonces haremos interpolación cuadrática, por ejemplo, de la inversa de $f(x)$. Primero, pues, evaluamos la función en tres puntos cerca de $x=0.3$:

Ahora escribimos la tabla para calcular las diferencias divididas de Newton, pero intercambiando las columnas, obteniendo los coeficientes del polinomio interpolador:

De esta forma el polinomio interpolación es:

$$\begin{array}{rl} P_3(y)=&0.2+0.0675\cdot(y-1.008)+0.00028963\cdot(y-1.008)(y-0.473) \\ =&0.2679019090-0.067654y+0.00028963y^2 \end{array}$$

Así una aproximación del cero de la función es:

$$P_3(0)=0.2679019090$$