Definició d'interpolació polinòmica

Donats $n +1$ punts $(x_k,f_k)$ amb $k\in\{0,1,\dots,n\}\ $ i $\ x_k\neq x_i \ $ si $\ i\neq k$, anomenem interpolació polinòmica a determinar un polinomi de grau menor o igual que $n$ tal que $p(x_k)=f_k \ $ per a tot $\ k$.

Aquest polinomi sempre existeix i és únic.

De vegades calcularem el polinomi que interpola un conjunt de dades. Altres vegades, els valors $f_k$ correspondran al valor d'una certa funció $f(x)$ en els punts $x_k$. És a dir, en lloc de treballar amb la pròpia funció ens és més còmode treballar amb un polinomi prou semblant. Però, què hi ha de semblant entre el polinomi interpolador i la funció original? Això ho quantifica l'error d'interpolació:

$$\text{error}=|f(x)-P_n(x)|=$$ $$=\Big| \dfrac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}(x-x_0)\cdot(x-x_1) \cdots (x-x_n)\Big|$$

on $\xi$ és un punt pertanyent a l'interval generat per tots els punts $x_k$.

Val a dir, que la funció ha de ser derivable $n +1$ vegades com a mínim.

Com ja hem dit, el polinomi és únic, però hi ha diversos mètodes per calcular-los.