Definición de interpolación polinómica

Dados $n +1$ puntos $(x_k,f_k)$ con $k\in\{0,1,\dots,n\}\ $ y $\ x_k\neq x_i \ $ si $\ i\neq k$, llamamos interpolación polinómica a determinar un polinomio de grado menor o igual que $n$ tal que $p(x_k)=f_k \ $ para todo $\ k$.

Este polinomio siempre existe y es único.

A veces calcularemos el polinomio que interpola un conjunto de datos. Otras veces, los valores $f_k$ corresponderan al valor de una cierta función $f(x)$ en los puntos $x_k$. Es decir, en lugar de trabajar con la propia función nos es más cómodo trabajar con un polinomio suficientemente parecido. Pero, ¿cuánto es de parecido el polinomio interpolador a la función original? Esto lo cuantifica el error de interpolación:

$$\text{error}=|f(x)-P_n(x)|=$$ $$=\Big| \dfrac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}(x-x_0)\cdot(x-x_1) \cdots (x-x_n)\Big|$$

donde $\xi$ es un punto perteneciente al intervalo generado por todos los puntos $x_k$.

Cabe decir, que la función debe ser derivable $n +1$ veces como mínimo.

Como ya hemos dicho, el polinomio es único, pero existen varios métodos para calcularlos.