Teorema de Green, teorema de Gauss i teorema de Stokes

Teorema de Green

Sigui $F(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$ una funció diferenciable de dues variables en el pla, i sigui $D$ una regió del pla real. Sigui $C$ la frontera de $D$.

Llavors:$$\displaystyle \int_C f\cdot dL=\int_D(\frac{d}{dx}F_y-\frac{d}{dy}F_x) \ dxdy$$

Teorema de Gauss

Sigui $V$ un volum tancat en l'espai, i $S$ la seva frontera parametritzada (és a dir, la seva "pell"), llavors, si $F:V \subset \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ , és una funció diferenciable en $V$, $$\displaystyle \int_S F \cdot dS=\int_V div(F)\cdot dxdydz$$ Amb aquest teorema, podem convertir complicades integrals de superfícies, en integrals de volums.

Procediment

1. Calcular $div (F)$
2. Trobar la regió d'integració $V$ (un volum, és a dir, $3$ variables)
3. Calculeu la integral amb $3$ variables.

Teorema de Stokes

Sigui $S$ una superfície de l'espai i $C$ la seva frontera (o límits), i sigui $F:S \subset \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ una funció diferenciable en $S$, llavors $$\displaystyle \int_C F \cdot dL=\int_S rot(F) \cdot dS$$

Aquest teorema ens pot resoldre problemes d'integració quan la corba en què hem d'integrar és complicada.

També ens diu que si $F$ té rotacional $0$ a $S$, llavors la seva integral al llarg de la corba $C$ val zero.

Procediment

1. Trobar la regió d'integració $S$ parametritzada (una superfície, és a dir, $2$ variables).
2. Calcular $rot (F)$.
3. Calculeu la integral de $2$ variables del rotacional de $F$.