Integrals impròpies

Una integral impròpia és una integral que té una asímptota vertical en l'interval d'integració, o amb l'interval d'integració no acotat.

En aquest tipus d'integrals, calcularem la integral en un interval una mica més reduït amb un paràmetre, per a després fer el límit del resultat.

Una integral impròpia pot no convergir, en el sentit que el seu resultat sigui infinit. Hi ha 3 tipus d'integrals impròpies.

Integrals impròpies de primer tipus

Són les integrals del tipus $\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \ dx$ o $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \ dx$. Aquestes integrals es resoldran de la següent manera: $$\displaystyle \begin{array}{l} \int_{-\infty}^b f(x) \ dx= \lim_{c \to{+}\infty}{\int_{c}^b f(x) \ dx} \\ \int_a^{+\infty} f(x) \ dx = \lim{x \to \infty}{\int_a^c f(x) \ dx}\end{array}$$

$$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x} \ dx= \lim_{b \to \infty} {\int_0^b e^{-x} \ dx} = \lim_{b \to \infty}{\Big[-e^{-x}\Big]_0^b}=\lim_{b \to \infty}{(1-e^{-b})}=1$$

Integrals impròpies de segon tipus

Són integrals $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ on $f(x)$ té una discontinuïtat asimptòtica en l'interval d'integració. Si aquesta discontinuïtat asimptòtica es produeix en $c \in [a,b]$, llavors$$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = \lim_{d \to c^-}{\int_a^d f(x) \ dx}+ \lim_{e \to c^+}{\int_e^b f(x) \ dx}$$

Integrals impròpies de tercer tipus

Són integrals barreja del primer tipus i del segon.