Integrals immediates logarítmiques, exponencials i trigonomètriques

Integrals immediates de logaritme

Són les integrals de funcions del tipus $k\cdot x^{-1} $ i es resolen:

$$\displaystyle \int k\frac{1}{x} \ dx= k \int x^{-1} \ dx = k\ln |x| +C$$

doncs

$$\frac{d}{dx}\Big( k\ln |x|+C\Big)=\frac{d}{dx} k\ln |x|+0= k\frac{d}{dx}\ln |x|= k \frac{1}{x}$$

Observem que el resultat és el logaritme del valor absolut, ja que no existeix el logaritme d'un nombre negatiu.

Per les propietats vistes en els logaritmes, si $a> 0$:

$$\displaystyle \int \frac{1}{x \cdot \ln a} \ dx= \log_{a}|x|+C$$

$$\displaystyle \int \frac{1}{x} \ dx=\ln |x| +C$$

$$\displaystyle \int 15 \cdot \frac{1}{x} \ dx = 15 \int \frac{1}{x} \ dx= 15 \ln |x|+C$$

$$\displaystyle \int \frac{1}{x\ln 5} \ dx= \log_{5} |x| +C$$

Com que sabem que la derivada de la funció $e^x$ és ella mateixa, per tant,

$$\displaystyle \int e^x \ dx = e^x+C$$

i, com en el cas anterior, per les propietats dels logaritmes, si $a> 0$ i $a\neq 1$:

$$\displaystyle \int a^x \ dx= \frac{a^x}{ln a}+C$$

$$\displaystyle \int 3e^x \ dx= 3e^x+C$$

$$\displaystyle \int 3^x \ dx = \int 3^x \ dx = \frac{3^x}{\ln 3} +C$$

$$\displaystyle \int 4^x+4e^x \ dx =\int 4^x \ dx + 4 \int e^x \ dx= \frac{4^x}{ln 4}+4e^x+C$$

Podem usar l'après a les derivades de funcions trigonomètriques (sinus, cosinus, tangent, arctangent, etc.) en integrar:

$$\displaystyle \int \sin x \ dx = - \cos x +C$$

$$\displaystyle \int \cos x \ dx= \sin x +C$$

$$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \ dx = \tan x +C$$

$$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx= \arcsin x+C$$

$$\displaystyle \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx= \arccos x +C$$

$$\displaystyle \int \frac{1}{a+x^2} \ dx = \arctan x +C$$

$$\displaystyle \int 2 \sin x \ dx= -2 \cos x +C$$

$$\displaystyle \int 5 \cos x+ 3 \sin x \ dx = 5 \int \cos x \ dx + 3 \int \sin x \ dx= 5 \sin x -3 \cos x +C$$

$$\displaystyle \int \frac{3}{1+x^2} \ dx = 3 \arctan x + C$$