Inequacions de segon grau

Una inequació de segon grau és una inequació on trobem nombres, una variable (que anomenarem $x$) que aquesta vegada la podem trobar multiplicant-se a ella mateixa, i un símbol de desigualtat.

Un exemple de inequació de segon grau podria ser: $$ 2x^2-x < 2x-1$$

on podem observar que el terme $2x^2$ és el terme quadràtic, característic de les inequacions de segon grau, ja que si aquest no estigués, tindríem una inequació de primer grau.

Per resoldre una inequació de segon grau farem servir un mètode compost per una sèrie de passos a seguir.

Una de les coses que ens farà falta per aquest mètode és la fórmula de resolució d'equacions de segon grau que recordem a continuació:

Donada l'equació de segon grau: $ax^2+bx+c=0$, les solucions vénen donades per la fórmula: $$ x_{+}=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \qquad x_{-}=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Pot ser que tinguem dues, una o cap solució en funció del valor del discriminant $\sqrt{b^2-4ac}$ (Per a més informació consultar el tema d'Equacions de segon grau).

Mètode a seguir per a la resolució:

• Donada la inequació, fer els canvis adequats fins a deixar un zero en un dels costats de la inequació, aconseguint una expressió del tipus: $ax^2+bx+c < 0$ o $ax^2+bx+c > 0$ on els valors $b$ i $c$ són nombres reals que poden ser positius o negatius i fins i tot zero i $a$ és un valor positiu. En cas de trobar un valor de $a$ negatiu, multiplicarem per $(-1)$ tota la inequació, canviant així el signe de $a$ (i en conseqüència, el signe dels altres termes i l'ordre de la desigualtat).

• Buscarem les solucions de l'equació $ax^2+bx+c= 0$, induïda per la inequació $ax^2+bx+c < 0$ o $ax^2+bx+c > 0$.

• Pot ser que tinguem tres opcions:

  • Si no tenim solucions de l'equació, hem de separar dos casos:

    • Si $ax^2+bx+c > 0$: La solució és qualsevol valor real: tots els números compleixen la inequació.
    • Si $ax^2+bx+c < 0$: Cap valor de $x$ compleix la inequació, per tant, la inequació no té solució.

    Si ens dibuixem la gràfica de $y=ax^2+bx+c$ observarem que no talla l'eix X, ja que l'equació no té solucions. Com que a més el valor de $a$ és positiu, tota la gràfica es troba per sobre de l'eix X, amb valors $y$ positius, per tant, si la inequació té signe major que (o major o igual que), qualsevol punt és solució de la inequació, i si té signe menor que (o menor o igual que), cap punt serà solució.

  • Si només tenim una solució, farem:

    • Si teníem la inequació $ax^2+bx+c > 0$, i realitzem el procediment: $$ ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow (x-x_1)^2 > 0 \Rightarrow (x-x_1)(x-x_1) > 0$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x-x_1) < 0 \Rightarrow x < x_1 \\ (x-x_1) > 0 \Rightarrow x > x_1 \end{array} \right. $$

      Hem de considerar els dos últims casos vàlids ja que un producte de dos nombres és positiu si aquests dos són alhora positius o negatius.

      Així que la solució de la inequació seran els $x$ que compleixin $x < x_1$ i $x > x_1$ on $x_1$ és la solució de l'equació $ax^2+bx+c=0$.

      En cas que tinguéssim una desigualtat del tipus $ax^2+bx+c \geqslant 0$, a banda de les mateixes solucions que consideràvem abans, afegiríem la solució $x_1$ i el resultat seria tenir com a regió solució tota la recta real.

    • Si teníem la inequació $ax^2+bx+c < 0$, farem: $$ ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow (x-x_1)^2 < 0 \Rightarrow \text{ No tenim solució} $$ Ja que un nombre elevat al quadrat sempre serà positiu, i estem exigint que sigui negatiu.

      En cas que tinguéssim una desigualtat del tipus $ax^2+bx+c \leqslant 0$, llavors tindríem una solució, justament la solució de l'equació $x_1$.

  • Si tenim dues solucions, $x_1$ i $x_2$, considerant a més que $x_1 < x_2$, farem el següent procediment:

    (Recordem que el valor de $a$ sempre és positiu)

    • Si $ax^2+bx+c > 0$: $$ ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow (x-x_1)(x-x_2) > 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } \ (x-x_1) > 0 \ \text{ i } \ (x-x_2) > 0 \\ \text{b) } \ (x-x_1) < 0 \ \text{ i } \ (x-x_2) < 0 \end{array} \right. $$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } \ x > x_1 \ \text{ i } \ x > x_2 \\ \text{b) } \ x < x_1 \ \text{ i } \ x < x_2 \end{array} \right. $$

      i com hem suposat que $x_1 < x_2$, ens quedem amb les desigualtats $x < x_2$ i $ x < x_1$.

    • Si $ax^2+bx+c < 0$: $$ ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow (x-x_1)(x-x_2) < 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } \ (x-x_1) > 0 \ \text{ i } \ (x-x_2) < 0 \\ \text{b) } \ (x-x_1) < 0 \ \text{ i } \ (x-x_2) > 0 \end{array} \right. $$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } \ x > x_1 \ \text{ i } \ x < x_2 \\ \text{b) } \ x < x_1 \ \text{ i } \ x > x_2 \end{array} \right. $$ i com hem suposat que $x_1 < x_2$, ens quedem amb les desigualtats $x < x_2$ i $ x < x_1$.

• Un cop haguem trobat la regió on es compleix la inequació, ja hem acabat.

Recordeu que en l'algorisme de resolució només hem emprat desigualtats estrictes (menor que, major que), però el mateix raonament serveix per desigualtats del tipus major o igual que i menor o igual que.

A continuació veurem un exemple de cada tipus:

$$ x^2+x+2 > -1-x $$

Resolució: $$ x^2+x+2 > -1-x \Rightarrow x^2+2x +1 > 0 $$

Trobem les solucions de l'equació $x^2+2x+1=0$: $$ x=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}=-1$$ Hi ha una única solució.

Seguint l'esquema que hem donat, la solució és $x < -1$ i $x > -1$, és a dir, tots els punts menys $-1$.

$$ x^2+2 < -1-2x $$

Resolució: $$ x^2+2 < -1-2x \Rightarrow x^2+2x +1 < 0 $$

Trobem les solucions de l'equació $x^2+2x+1=0$: $$ x=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}=-1$$ Hi ha una única solució.

Seguint l'esquema que hem donat, no tenim solucions possibles.

$$ -x(x-1)-x < -1 $$

Resolució: $$ -x(x-1)-x < -1 \Rightarrow -x^2+x-x +1 < 0 \Rightarrow -x^2 +1 < 0 \Rightarrow x^2 -1 > 0 $$

Trobem les solucions de l'equació $x^2-1=0$: $x=\pm 1$

Com que tenim dues solucions, la solució del problema (seguint les indicacions) és $x < -1$ i $x > 1$.